[論文レビュー] Resonant local systems on complements of discriminantal arrangements and sl_2 representations

Daniel C. Cohen, Alexander Varchenko|ArXiv.org|Nov 16, 2002

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、判別的超平面配置の補集合における反対称コホモロジーと $σλ_2$ の表現論の間の明確な対応関係を確立し、$k-1$-次のコホモロジー群の次元が、$n$ 個の $σλ_2$-モジュールのテンソル積における最高ウェイト $|m|-k+1$ の既約 $σλ_2$-モジュールの重複度に等しいことを示している。非自明なコホモロジーは、マスターファンクションが非孤立な臨界点を持つ場合にのみ生じる。これは $0 \leq |m|-k+1 < k$ のときであり、臨界集合は対称座標における $w(m, |m|-k+1)$ 本の直線の和集合である。

ABSTRACT

We calculate the skew-symmetric cohomology of the complement of a discriminantal hyperplane arrangement with coefficients in local systems arising in the context of the representation theory of the Lie algebra sl_2. For a discriminantal arrangement in C^k, the skew-symmetric cohomology is nontrivial in dimension k-1 precisely when the "master function" which defines the local system on the complement has nonisolated critical points. In symmetric coordinates, the critical set is a union of lines. Generically, the dimension of this nontrivial skew-symmetric cohomology group is equal to the number of critical lines.

研究の動機と目的

• 判別的配置の補集合における反対称局所系コホモロジー群の次元を特定すること。
• マスターファンクションの臨界点構造と $σλ_2$ の表現論との関係を調査すること。
• コホモロジーが非自明となる条件を明確にし、その次元がテンソル積における $σλ_2$-モジュールの既約モジュールの重複度とどのように関係するかを解明すること。

提案手法

• $n$ 個の相異なる複素数 $z_j$ と非負整数 $m_j$ を用いて定義されるマスターファンクション $\Phi_{k,n}(t;z,m)$ は、判別的配置 $\mathcal{A}_{k,n}$ の補集合 $X$ 上に局所系 $\mathcal{L}$ を誘導する。
• 対称群 $\Sigma_k$ は $X$ に作用し、$\mathcal{L}$ を保存するため、コホモロジーを反対称成分 $H^*_{-}(X;\mathcal{L})$ に分解できる。
• 主な技術的道具は、マスターファンクションの臨界点方程式から導かれる行列 $A_k(m)$ の核の解析である。
• 変数の数に関する帰納法を用いて、部分行列 $A_q(m^1)$ の核に関する再帰的関係を用いて、$H^{k-1}_{-}(X;\mathcal{L})$ の次元を計算する。
• テンソル積 $L_{m_1} \otimes \cdots \otimes L_{m_n}$ における $σλ_2$-モジュール $L_{|m|-2k}$ の重複度 $w(m,k)$ を用いて、コホモロジー次元を表現する。
• $j = |m| - k + 1$ の値に基づく場合分けにより、$\dim \ker A_k(m) = w(m, |m| - k + 1)$ が $0 \leq |m| - k + 1 < k$ のときのみ成り立つことを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 判別的配置の補集合に対して、反対称コホモロジー $H^{k-1}_{-}(X;\mathcal{L})$ が非自明となるのはいつか？
• RQ2 マスターファンクション $\Phi_{k,n}$ の臨界点集合の構造は、$\u03c3λ_2$ の表現論とどのように関係するか？
• RQ3 反対称コホモロジー群 $H^{k-1}_{-}(X;\mathcal{L})$ の正確な次元は、$\u03c3λ_2$-モジュールの重複度を用いてどのように表されるか？
• RQ4 重み $m_j$ がどのような条件下でマスターファンクションに非孤立な臨界点を持つようになるか？
• RQ5 なぜ $H^{k-1}_{-}(X;\mathcal{L})$ の次元が重複度 $w(m, |m| - k + 1)$ に等しくなるのか、そしてこれは臨界点集合の幾何学的性質とどのように関係するか？

主な発見

• 反対称コホモロジー $H^{k-1}_{-}(X;\mathcal{L})$ は、$0 \leq |m| - k + 1 < k$ のときかつそのときにのみ非自明であり、これはマスターファンクションが非孤立な臨界点を持つ場合に一致する。
• $0 \leq |m| - k + 1 < k$ のとき、$H^{k-1}_{-}(X;\mathcal{L})$ の次元は、正確に $w(m, |m| - k + 1)$ に等しく、これはテンソル積 $L_{m_1} \otimes \cdots \otimes L_{m_n}$ における最高ウェイト $|m| - k + 1$ の既約 $\u03c3λ_2$-モジュール $L_{|m| - k + 1}$ の重複度である。
• 同じ範囲内では、$\dim H^k_{-}(X;\mathcal{L}) = w(m, |m| - k + 1) + \binom{n + k - 2}{k}$ であり、これは高次の非自明なコホモロジー群を示している。
• $|m| - k + 1 \geq k$ のとき、唯一非自明な反対称コホモロジーは次数 $k$ に現れ、その次元は $\binom{n + k - 2}{k}$ であり、$q \neq k$ のとき $H^q_{-}(X;\mathcal{L}) = 0$ である。
• $0 \leq |m| - k + 1 < k$ のとき、マスターファンクション $\Phi_{k,n}$ の臨界集合は、対称座標 $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ において $w(m, |m| - k + 1)$ 本の直線の和集合であり、コホモロジー次元の幾何的起源を確認している。
• 証明により、$|m| - k + 1 > r^1$ のとき、高次の成分からの $\ker A_k(m)$ への寄与は消えることが示され、$0 \leq |m| - k + 1 < k$ の範囲で $\dim \ker A_k(m) = w(m, |m| - k + 1)$ が普遍的に成り立つことが保証されている。