[論文レビュー] Resonant-state expansion for a simple dispersive medium

M. B. Doost, W. Langbein+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2015

Photonic and Optical Devices被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、周波数に依存しない電導度σ₀を伴うオームの法則分散に従う分散性媒質に、共鳴状態拡張（RSE）を拡張する。誘電率は周波数に反比例する。この方法は、零周波数における単一の極を活用することで、元のRSEと同様の線形性と行列次元を維持し、ドーピングシリコンやBK7ガラスのような系における共鳴状態を、N=200の基底状態で10⁻⁸未塔の誤差で正確かつ効率的に計算可能である。

ABSTRACT

The resonant-state expansion (RSE), a rigorous perturbative method developed in electrodynamics for non-dispersive optical systems is applied to media with an Ohm's law dispersion, in which the frequency dependent part of the permittivity scales inversely with the frequency, corresponding to a frequency-independent conductivity. This dispersion has only a single pole at zero frequency, which is already present in the non-dispersive RSE, allowing to maintain not only the linearity of the eigenvalue problem of the RSE but also its size. Media which can be described by this dispersion over the relevant frequency range, such as optical glass or doped semiconductors, can be treated in the RSE without additional complexity. Results are presented using analytically solvable homogeneous spheres, for doped silicon and BK7 glass, both for a perturbation of the system going from non-dispersive to dispersive media and the reverse, from dispersive to non-dispersive media.

研究の動機と目的

• オームの法則分散に従う周波数依存誘電率を有する媒質への共鳴状態拡張（RSE）の拡張を目的とする。
• 分散の導入にもかかわらず、元のRSEの線形性と固定された行列サイズを維持することを目的とする。
• ドーピングシリコンやBK7ガラスのような現実的な分散性光学系における共鳴状態の正確かつ効率的な計算を可能とすることを目的とする。
• 非分散および分散性摂動を伴う解析的に解ける球対称系を用いて、手法の妥当性を検証することを目的とする。

提案手法

• 誘電率ε(ω) = ε₀ + iσ₀/ωを満たす媒質（周波数に依存しない電導度σ₀に対応）に対するRSEの形式化。
• 非摂動系の共鳴状態のスペクトル分解を用いたグリーン関数形式を採用し、一般化固有値問題を導出する。
• 分散関数に零周波数における単一の極が存在することを活用し、非分散系と同一の行列次元を維持する。
• 基底状態を非摂動系から得た状態を用い、均一な球体に対して電導度または誘電率の摂動を適用する。
• 標準的なアルゴリズムを用いて、得られた一般化固有値問題を数値的に解き、計算効率を保持する。
• RSEの結果を、さまざまな基底サイズNにおけるTEおよびTMモードについて、正確な解析解と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オームの法則分散を有する媒質への共鳴状態拡張（RSE）の拡張は、行列サイズの増大や線形性の喪失を伴わずに可能か？
• RQ2 分散関数に零周波数における単一の極が存在することは、RSEの計算的効率性を維持可能にするか？
• RQ3 ドーピングシリコンやBK7ガラスのような分散系において、RSEはどの程度の精度で共鳴状態を計算できるか？
• RQ4 分散性摂動において、基底サイズNの増大に伴うRSEの収束特性はいかなるものか？
• RQ5 非分散から分散への摂動、およびその逆の摂動の両方を、同等の精度で扱えるか？

主な発見

• 零周波数における単一の極のおかげで、オームの法則分散に拡張されたRSEは、線形かつ次元を保ったままの方法のままである。
• N=200の場合、RSEで予測された共鳴波数の相対誤差は10⁻⁸のオーダーにまで低下し、セリエイ分散のオームの法則近似による10⁻⁴〜10⁻⁵の誤差よりも著しく小さい。
• 分散系において、TEおよびTMモードの両方で誤差がN⁻³に比例して収束することが確認された。
• 虚数電導度を用いて誘電率の実部を表現することで、因果的有効でない分散でさえも、ドーピングシリコンやBK7ガラスにおける共鳴状態を正確に再現できる。
• 非分散RSEに比べ、計算コストはわずか2倍に増加にとどまり、その計算効率の優位性が維持されている。
• 非分散から分散への摂動、およびその逆の摂動の両方を、一貫した精度で取り扱えることが確認された。