[論文レビュー] Resource Letter on geometrical results for Embeddings and Branes

Matej Pavšič, Víctor Tapia|ArXiv.org|Oct 11, 2000

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 371被引用数 41

ひとこと要約

このリソースレターは、時空やブレインを高次元平坦空間に埋め込むことに関連する、外在的リーマン幾何学における主要な研究を体系的に収集・解説したものである。等長埋め込み定理、特にナッシュのグローバルな結果をレビューし、リーマン多様体の内在的記述と外在的記述の等価性を確立する。一般相対性理論やブレイン・ワールドモデルへの応用を含む。

ABSTRACT

Due to the recent renewal in the interest for embedded surfaces we provide a list of commented references of interest.

研究の動機と目的

• 外在的幾何学およびブレインの基礎的かつ影響力のある研究を体系的に選定・解説した文献目録を提供すること。
• 等長埋め込み定理を用いたリーマン多様体の内在的記述と外在的記述の数学的等価性を明確にすること。
• 埋め込みクラス、曲率制約、ブレイン・ワールドの物性論に関連する結果を体系化し、一般相対性理論および高次元重力の研究者を支援すること。
• 埋め込み定理の歴史的・技術的発展、特にランダル＝サンズラムモデルのような現代のブレイン・ワールド状況に特に関連するものを強調すること。
• 高次元埋め込みに基づく重力の代替形式を探索する理論物理学者のための参考資料として提供すること。

提案手法

• 等長埋め込みおよびブレイン幾何学に関する査読済み学術論文および書籍を体系的にレビュー・選定し、非査読の電子出版物は除外する。
• 特にガウス–コーディツィ–リッチ方程式を埋め込みの可積分性条件として用いる研究に焦点を当てる。
• 分野別に参考文献を分類：埋め込み幾何学、一般相対性理論への応用、埋め込みクラス、外在的重力。
• シュレーフリとヤンタからナッシュおよびゲンターに至るまでの歴史的発展を提示し、局所的およびグローバルな埋め込み定理に重点を置く。
• 埋め込みクラス（等長埋め込みを満たすために必要な余剰次元の最小数）の結果を統合する。
• FRW空間などの宇宙論的解や、シュバルツシルト解などの特定の計量に対する応用を分析し、それらの埋め込みクラスを検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたリーマン多様体を平坦な高次元空間に等長埋め込むために必要な余剰次元の最小数は何か？
• RQ2 ガウス–コーディツィ–リッチ方程式は、埋め込まれた多様体の外在的幾何にどのような制約を課え、可積分性条件として果たす役割は何か？
• RQ3 時空の内在的幾何は、高次元平坦空間への外在的埋め込みによってどのように同等に記述できるか？
• RQ4 埋め込み定理は、特にランダル＝サンズラムモデルのようなブレイン・ワールド状況における重力の定式化にどのような意味を持つのか？
• RQ5 埋め込みクラスおよび曲率特性は、宇宙論的解および球対称解の物理的実現可能性と安定性にどのように影響を及えるか？

主な発見

• 解析的計量に対して、任意のn次元リーマン多様体は、シュレーフリ、ヤンタ、カルタンによって確立されたように、次元N = n(n+1)/2のユークリッド空間に局所的およびグローバルに等長埋め込み可能である。
• ナッシュの1956年のグローバル埋め込み定理は、コンパクトなリーマン多様体がE^N（N = n(3n+11)/2）に、非コンパクトな多様体がE^N（N = n(n+1)(3n+11)/2）に等長埋め込み可能であることを保証している。
• ゲンターの1989年の改良により、実解析的多様体に対してはナッシュの結果よりも効率的な埋め込み次元が得られた。
• 埋め込みクラスとは、ガウス–コーディツィ–リッチ方程式を満たすために必要な余剰次元の最小数として定義される。FRW時空はクラス1に属する。
• シュバルツシルト解は高次元空間に埋め込み可能であり、ブレイン・ワールドモデルの文脈でその埋め込みクラスが研究されている。
• 外在的幾何は、特に重力がブレイン上に局在化するモデルにおいて、時空の曲率や重力の理解に幾何学的に直感的な枠組みを提供する。