[論文レビュー] Resource Limited Theories and their Extensions

Paul Benioff|ArXiv.org|Mar 13, 2003

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、空間、時間、エネルギー、運動量といったリソース制限—空間、時間、エネルギー、運動量—によって制約を受ける物理的・数学的理論を扱うフレームワークを提案する。各リソースレベル $r$ に対して、ドメイン $D_r$、言語 $L_r$、理論 $T_r$ を導入する。主な貢献は、Gödelの不完全性定理に対処するための部分順序による理論の階層と反映原理を用いたリソース制限付きの基礎物理学・数学の枠組みであり、すべての $T_r$ の極限として統一的「すべての理論」（TOE）を提示することを目的としている。

ABSTRACT

This work is based on the idea that extension of physical and mathematical theories to include the amount of space, time, momentum, and energy resources required to determine properties of systems may influence what is true in physics and mathematics at a foundational level. Background material, on the dependence of region or system sizes on both the resources required to study the regions or systems and the indirectness of the reality status of the systems, suggests that one associate to each amount, r, of resources a domain, D_{r}, a theory, T_{r}, and a language, L_{r}. D_{r} is limited in that all statements in D_{r} require at most r resources to verify or refute. T_{r} is limited in that any theorem of T_{r} must be provable using at most r resources. Also any theorem of T_{r} must be true in D_{r}. L_{r} is limited in that all expressions in L_{r} require at most r resources to create, display, and maintain. A partial ordering of the resources is used to describe minimal use of resources, a partial ordering of the T_{r}, and motion of an observer using resources to acquire knowledge. Reflection principles are used to push the effect of Godel's incompleteness theorem on consistency up in the partial ordering. It is suggested that a coherent theory of physics and mathematics, or theory of everything, is a common extension of all the T_{r}.

研究の動機と目的

• 物理的・数学的理論の基礎に、空間、時間、エネルギー、運動量といった物理的リソース制限を組み込むこと。
• 数学的実在主義と物理的制限の間の矛盾を、文の存在と真理性をリソースの可用性に根ざさせることで解消すること。
• 反射原理を用いてGödelの不完全性定理を拡張し、リソース制限付き理論の部分順序において整合性の問題を上位に押し上げること。
• すべてのリソース制限付き理論 $T_r$ の極限としての整合的で一貫した「すべての理論」（TOE）を提示すること。
• 真理性と証明可能性が、その確認・反証に要する物理的リソースに依存する形式的フレームワークを構築すること。

提案手法

• リソース $r$ で最大 $r$ の物理的リソース（空間、時間、エネルギー、運動量）を用いて検証可能または反証可能な文の集合としてドメイン $D_r$ を定義する。
• リソース $r$ を最大として使用できる形式的系として理論 $T_r$ を定義し、$T_r$ のすべての定理は $D_r$ で真である。
• リソース $r$ を最大として作成・表示・維持可能な表現からなる言語 $L_r$ を定義する。
• リソースベクトル $r$ の部分順序を用いて理論の階層を定義し、$r'$ がすべての成分で $r$ 以上である場合、$T_{r'}$ は $T_r$ を拡張する。
• Gödelの第二不完全性定理の帰結を上位の理論に押し上げるために、$T_r$ が文 $S$ に対して有効であるという妥当性文 $Val_r(G(S))$ に反射原理を適用する。
• 観測者の知識獲得をリソース使用の経路としてモデル化し、各ステップで文を検証または反証する。全知識をこのような文の集合の和集合として定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間、時間、エネルギー、運動量といった物理的リソース制限を、物理的・数学的理論の基礎に体系的に組み込む方法は何か？
• RQ2 ある文の真理性、証明可能性、およびその検証または反証に要する最小リソースコスト $r(S)$ の関係は何か？
• RQ3 反射原理を用いたリソース制限付き枠組みにおいて、Gödelの不完全性定理はどのように扱えるか？
• RQ4 すべての $T_r$ の極限としての統一的「すべての理論」（TOE）を構築できるか。また、その整合性への影響は何か？
• RQ5 言語および記号表現の物理的性質は、$L_r$ の定義および表現のリソースコストにどのように影響するか？

主な発見

• 各文 $S$ には最小リソースコスト $r(S)$ が存在し、$S$ は最初に $D_{r(S)}$ および $T_{r(S)}$ に現れる。これは、その真偽がそのリソースレベルにのみ到達可能であることを意味する。
• 理論 $T_r$ はリソースベクトルによる部分順序で整列される。$r'$ がすべての成分で $r$ 以上であれば、$T_{r'}$ は $T_r$ を拡張する。これにより、$T_r$ の定理はすべて $T_{r'}$ の定理である。
• TOEはすべての $T_r$ の極限として提示され、算術、量子力学、数学的推論を統合するが、Gödelの定理により自身の整合性を証明できない。
• 反射原理により、$T_r$ の整合性は上位の理論 $T_{r'}$ で表現可能となり、整合性の問題がリソース階層の中で上位に押し上げられる。
• このフレームワークは、数学的対象や物理的系の存在がリソースの可用性に依存することを示し、数学的実在主義に挑戦するとともに、物理的制限によって数学の「不思議な効果性」を説明する。
• このモデルは、$L_r$ の表現がナノメートルからキロメートルまでの可変な物理的表現を考慮しなければならないことを示唆し、従来の固定された記号サイズやリソースコストに関する仮定を挑戦する。