[論文レビュー] Response to a Setpoint Change in PID Controlled Time-Delay Feedback Systems

Gianpasquale Martelli|ArXiv.org|Feb 22, 2007

Advanced Control Systems Design参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、パデ近似を避ける「ステップ法」を用いて、時間遅れを持つPID制御系のステップ変更への応答について明示的な解析解を提示する。2次系に対して閉形式の係数公式を導出し、数値近似や積分路積分を用いずに、正確で低時間応答評価が可能となる。これは遅れを伴うプロセスにおける高精度な制御則調整に不可欠である。

ABSTRACT

The response to a setpoint change in PID controlled feedback systems plays an important role for the tuning methods. This response may be easily evaluated in linear systems without delay by solving the related ordinary differential equations. These equations are also obtained for system with delay, if the delay exponential term is approximated to a polynomial by one of the Pade expressions. If this simplification is avoided, one must deal with differential difference equations. In this paper their explicit solution, obtained with the method of steps, is presented. Moreover a second order equation is investigated as example and the complete set of the coefficients formulas is given.

研究の動機と目的

• PID制御された時間遅れフィードバック系におけるステップ変更への正確な解析的解を導出すること。
• 時間遅れに起因する微分差分方程式を解く際のパデ近似の限界を克服すること。
• 数値積分や積分路積分に依存せずに、制御則係数を体系的に計算する手法を提供すること。
• 明示的な応答公式を提供することで、時間遅れを伴う系におけるPID制御則の正確かつ安全な調整を可能にすること。
• 古典的チューニング手法の適用範囲を、厳密な解析的枠組みを提供することによって時間遅れを伴う系へ拡張すること。

提案手法

• PID制御された時間遅れ系の閉ループ伝達関数から導かれる微分差分方程式を解くために、ステップ法が適用される。
• 解は指数関数的および多項式的項の和として表現される：$ y_{n,k}(t_n) = \sum_{p=1}^{m_a} e^{r_p t_n} \sum_{i=0}^{v_{k,p}+n} G_{n,k,p,i} t_n^i $、ここで$ r_p $は遅れなし系の特性根である。
• 係数$ G_{n,k,p,i} $は、連続性条件と$ e^{r_p t_n} t_n^i $の項の一致を満たすために、区間間で再帰的に決定される。
• 初期条件とステップ変更が解の形と整合的であるものと仮定し、特にPID制御器の積分作用によりゼロ特性根が保証されることを活用する。
• 実数かつ単純な特性根を持つ系に対して有効な一般的手順が導出され、重複根や複素根への拡張も可能である。
• 未知係数の解法には級数積の恒等式とバーデルモンド行列を用い、得られた線形系に対してクラメルの公式を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パデ近似を用いずに、PID制御された時間遅れ系のステップ応答に対して正確な解析的解を導出可能か？
• RQ2 時間遅れフィードバック系に起因する微分差分方程式を解くために、ステップ法を体系的に応用する方法は何か？
• RQ3 2次系かつ時間遅れを伴う系において、解の級数における係数の閉形式表現は何か？
• RQ4 初期条件とステップ変更は、指数多項式項の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ5 制御則チューニングの目的で正確な低時間応答評価が可能な形で解を表現できるか？

主な発見

• 本稿では、ステップ法を用いて2次PID制御時間遅れ系の解に対して明示的かつ閉形式の係数公式を導出する。
• 解は有限個の指数関数的および多項式的項の和として表現され、$ y_{n,k}(t_n) = \sum_{p=1}^{m_a} e^{r_p t_n} \sum_{i=0}^{v_{k,p}+n} G_{n,k,p,i} t_n^i $ であり、解析的に取り扱えるとともに、数値近似を回避する。
• この手法は区間間の連続性を保証し、$ t_n $ のべき乗を一致させるために得られる線形系を用いて、係数$ G_{n,k,p,i} $ の再帰的計算が可能である。
• 実数かつ単純な特性根を持つ系に対して有効であり、PID制御器の積分器のおかげでゼロ根が保証され、ステップ変更や定常初期条件と整合的である。
• バーデルモンド行列とクラメルの公式の使用により、係数方程式の体系的解法が可能となり、行列式は根の差の積として表現される。
• 積分路積分や無限級数を回避するため、パデ近似が失敗する低時間領域における正確な評価に適している。