[論文レビュー] Restoration of Angular Lie Algebra Symmetries from a Covariant Hamiltonian

Alain Bérard, José Lages+1 more|ArXiv.org|Oct 1, 2001

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般化された角運動量および接続場を導入することにより、平坦および曲がった時空におけるsO(3)およびローレンツ代数の対称性を回復する共変ハミルトニアン枠組みを提案する。これによりモノポール場の出現が生じる。主な結果は、ディラックのモノポール量子化に類似した量子条件から導かれる、重力電磁力学におけるダイオンの定性的な質量スペクトル関係である。

ABSTRACT

The sO(3) and the Lorentz algebra symmetries breaking with gauge curvatures are studied by means of a covariant Hamiltonian. The restoration of these algebra symmetries in flat and curved spaces is performed and led to the apparition of a monopole field. Then in the context of the Lorentz algebra we consider an application to the gravitoelectromagnetism theory. In this last case a qualitative relation giving a mass spectrum for dyons is established.

研究の動機と目的

• 共変ハミルトニアン枠組みにおいてゲージ曲率が引き起こすsO(3)およびローレンツ代数の対称性の破れを調査すること。
• 一般化運動量および接続場を用いて、平坦空間および曲がった空間におけるこれらの対称性を回復すること。
• 対称性回復の結果としてモノポール場が出現することを探索すること。
• 形式的枠組みを重力電磁力学に適用し、ダイオンの質量スペクトル条件を導出すること。
• ポincareのテンソル束上のポisson括弧を用いて、モノポールを含む曲がった時空におけるマクスウェル方程式のフェ Feynmanの導出法を一般化すること。

提案手法

• 速度依存の計量テンソル $ g^{ij}(x,\dot{x}) $ を持つ接続束上に定義された共変ハミルトニアンを用い、ゴールドスタインの4次元共変ハミルトニアンを一般化する。
• 分配的かつ局所的性質を持つ反対称括弧を導入し、$[x^i, x^j] = 0$ および $[\dot{x}^i, \dot{x}^j] = \frac{q}{m^2} \mathcal{F}^{ij}(x,\dot{x}) $ を含む。ここで $ \mathcal{F}^{ij} $ はゲージ曲率である。
• 接続束上での一般化されたポアソン括弧 $ \{f,g\} = \frac{1}{m} \left( g^{ij} \frac{\partial f}{\partial x^i} \frac{\partial g}{\partial \dot{x}^j} - g^{ij} \frac{\partial f}{\partial \dot{x}^i} \frac{\partial g}{\partial x^j} \right) $ を用いて力学を記述する。
• 整合性の分析と対称性の破れの検出に、ヤコビ恒等式の構造 $ J(f,g,h) = [f,[g,h]] + [g,[h,f]] + [h,[f,g]] $ を適用する。
• レジェンドル変換を用いて線形運動量および接続場を導入し、ポincare運動量を介して対称性の回復を可能にする。
• 重力電磁力学への形式の拡張として、双対電荷 $ q, g $ および $ q', g' $ を導入し、モノポール源を含む重力的マクスウェル方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲージ曲率の存在下で、共変ハミルトニアンを用いてsO(3)およびローレンツ代数の対称性をどのように回復できるか。
• RQ2 モノポール場は、これらの代数的対称性の回復において果たす役割は何か。
• RQ3 接続場および一般化運動量の導入が、曲がった時空における力学に与える影響は何か。
• RQ4 この形式的枠組みを重力電磁力学に拡張し、ダイオンの質量スペクトルを導出できるか。
• RQ5 重力電磁力学的文脈において、ダイオンの電荷と質量を結ぶ量子条件は何か。

主な発見

• 平坦および曲がった時空におけるsO(3)およびローレンツ代数の対称性の回復は、ポincare運動量としての一般化された角運動量の導入によって達成され、これに伴いモノポール場が出現する。
• ヤコビ恒等式が成立しない場合、3階のテンソル $ N^\mu{}^{\nu\rho} $ が現れ、バイアンチ恒等式が破れ、重力的マクスウェル方程式にモノポール的源が許容される。
• 重力的マクスウェル方程式は $ \delta F = j $ および $ dF = -{}^*k $ として導出され、ヤコビ恒等式が破れた場合には修正された源関係 $ g^*j - q^*k = qgN $ が得られる。
• 量子化条件 $ \alpha\beta' q_E q_M' + \alpha'\beta q_E' q_M = \frac{2nh}{Z_0^2} $ を用いたダイオンの定性的な質量スペクトルが導出され、$ m m' = \frac{nh}{A G Z_0^2} $ が得られる。ここで $ A $ は定数、$ n $ は整数または半整数である。
• 対称的状況 $ q = q' $、$ g = g' $ では、関係式は $ m = m' = \sqrt{ \frac{nh}{A G Z_0^2} } $ に簡略化され、離散的質量スペクトルが得られる。
• この形式は、ヴァン・ホルテンおよびマシュフンの知られたダイオンおよびモノポール物理学の結果を、異なる文脈で再現しており、一貫性を確認している。