[論文レビュー] Restoring similarity in randomized Krylov methods with applications to eigenvalue problems and matrix functions

Laura Grigori, Daniel Kressner+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2026

Matrix Theory and Algorithms被引用数 0

ひとこと要約

この論文は乱択 Arnoldi 過程の類似性を回復する修正を提案し、その Hessenberg 行列を標準 Arnoldi に類似させ、固有値問題と行列関数の評価へ適用します。

ABSTRACT

The randomized Arnoldi process has been used in large-scale scientific computing because it produces a well-conditioned basis for the Krylov subspace more quickly than the standard Arnoldi process. However, the resulting Hessenberg matrix is generally not similar to the one produced by the standard Arnoldi process, which can lead to delays or spike-like irregularities in convergence. In this paper, we introduce a modification of the randomized Arnoldi process that restores similarity with the Hessenberg matrix generated by the standard Arnoldi process. This is accomplished by enforcing orthogonality between the last Arnoldi vector and the previously generated subspace, which requires solving only one additional least-squares problem. When applied to eigenvalue problems and matrix function evaluations, the modified randomized Arnoldi process produces approximations that are identical to those obtained with the standard Arnoldi process. Numerical experiments demonstrate that our approach is as fast as the randomized Arnoldi process and as robust as the standard Arnoldi process.

研究の動機と目的

• 乱択 Arnoldi から得られる Hessenberg 行列の標準 Arnoldi との類似性のミスマッチに動機づけ、対処する。
• 最終 Arnoldi ベクトルの直交性を最小二乗補正で強制することで類似性を回復する手続きを開発する。
• 固有値問題と行列関数の評価において、厳密演算における標準 Krylov 法と同等であることを示す。
• Krylov–Schur 枠組みにおける固有値計算の後向き安定性の洞察を提供する。

提案手法

• U_m^H û_{m+1}=0 を最小二乗問題を解くことで強制する、類似性回復補正を乱択 Arnoldi 過程に導入する。
• 補正後の分解 AU_m = U_m Ĥ_m + û_{m+1} c_m^H を定式化し、Ĥ_m = H_m + ŷ_m c_m^H。
• 得られた Ĥ_m が標準の G_m に類似であり、厳密演算において Ritz 値が同一になることを証明する。
• 補正した手法を乱択 Krylov–Schur に固有値問題へ、そして f(A)b による行列関数の評価へ適用する。
• 計算コストについて議論し、支配的なコストは U_m^H U_m の形成であり、補正は実用的であることを強調する。
• 任意のスケッチ再正規化を選択可能な実装概要を提供する。

Figure 3 : Execution time (s) for KS (left), SRR-KS (middle) and RKS (right) on Hermitian (top) and non-Hermitian (bottom) problems. The X-label and Y-label are $\ell$ and $m$ , the dimension of Krylov subspaces before and after restarting, respectively. The stopping criterion is when the residual n

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 類似性回復補正により乱択 Arnoldi の Hessenberg 行列を標準 Arnoldi の Hessenberg 行列に類似させることができるか？
• RQ2 補正された乱択 Krylov–Schur 法は厳密演算において標準 Krylov–Schur と同等の Ritz 値を生成するか？
• RQ3 固有値計算における類似性回復アプローチの後向き安定性はどのようになるか？
• RQ4 Krylov の部分空間を用いた行列関数の計算において、補正済み手法は標準手法と比べてどのような影響を与えるか？

主な発見

• 類似性回復補正は標準的な Krylov 分解に類似した分解を生み出し、厳密演算で Ritz 値を標準法と一致させる。
• 提案手法は乱択 Gram–Schmidt の速度利点を維持しつつ、標準 Arnoldi 過程の頑健性と固有値精度を達成する。
• 固有値問題において、補正された乱択 Krylov–Schur 法は厳密演算における標準 Krylov–Schur の収束挙動に一致する。
• 類似性により残差と数値範囲がより良く制御され、A がエルミートの場合の偽の複素 Ritz 値といった問題が緩和される。
• 数値実験は、固有値問題と行列関数の評価において、乱択 Arnoldi と同程度の速さ、標準 Arnoldi と同等程度の頑健性を示す。

Figure 4 : Convergence history of residual for KS, SRR-KS and RKS on Hermitian (left) and non-Hermitian (right) problems with $\ell=20$ and $m=30$ . The history of KS and SRR-KS are overlapped.