[論文レビュー] Restricted 132-Involutions and Chebyshev Polynomials

Olivier Guibert, Toufik Mansour|ArXiv.org|Jan 15, 2002

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、132と別のパターンτ ∈ S_kを回避する反転の母関数が、第二種チェビシェフ多項式を用いて表現可能であることが確立され、制限付き順列パターンと直交多項式の間の深い関係が明らかにされた。このような反転の数の明示的公式が導出され、132の回避に加えて12⋯kまたは213⋯kの回避を行うと、母関数がkにのみ依存し、U_k(1/(2x))を含む閉形式で表されることが示された。主な貢献は、パターン回避反転と第二種チェビシェフ多項式を結ぶ統一的枠組みを確立したことであり、既知の結果を一般化し、新たな数え上げ公式を提供した。

ABSTRACT

We study generating functions for the number of involutions in $S_n$ avoiding (or containing once) 132, and avoiding (or containing once) an arbitrary permutation $τ$ on $k$ letters. In several interesting cases the generating function depends only on $k$ and is expressed via Chebyshev polynomials of the second kind. In particular, we establish that involutions avoiding both 132 and $12... k$ have the same enumerative formula according to the length than involutions avoiding both 132 and any {\em double-wedge pattern} possibly followed by fixed points of total length $k$. Many results are also shown with a combinatorial point of view.

研究の動機と目的

• 132と別のパターンτ ∈ S_kを回避するS_n内の反転の母関数を調査すること。
• これらの母関数がkにのみ依存し、第二種チェビシェフ多項式で表現可能である条件を特定すること。
• 132回避反転に関する既知の結果を、132と任意のτ ∈ S_kを回避する反転に拡張することで一般化すること。
• 132回避反転と原始的ダック語の間の組合せ的双対写像（例：132回避反転と原始的ダック語の間の双対写像）を確立し、132がちょうど一度現れる場合のケースを検討すること。

提案手法

• 著者たちは、特にt = 1/(2√x)を用いた有理関数R_k(x) = 2tU_{k-1}(t)/U_k(t)を用いて、132回避順列の母関数をモデル化する生成関数技法を用いた。
• 反転の構造的分解から導かれる再帰的関係を応用し、命題4.3を用いて長さkのパターンの母関数を長さk−1のものと関連づけた。
• 第二種チェビシェフ多項式U_k(x)を根幹の代数的道具として用い、さまざまなパターンクラスに対してU_k(1/(2x))の形で母関数を表現した。
• パターンτの反転内での位置と構造に基づくケース分析を実施し、分解の左側または右側にτが現れる場合を区別した。
• 12⋯k、213⋯k、23⋯k1などのパターンに対しては、帰納法と既知のR_k(x)の結果を用いて閉形式の母関数を導出した。
• 結果の妥当性を検証するために組合せ的双対写像を用い、132回避反転と原始的ダック語の間の双対写像を例に挙げた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 τ ∈ S_kに対して、132とτの両方を回避するS_n内の反転の数の母関数は何か？ そして、これはkにどのように依存するか？
• RQ2 132回避反転がτを回避する母関数は、第二種チェビシェフ多項式で表現可能か？
• RQ3 どの種のパターンτに対して、母関数がτの具体的な構造に依存せず、kにのみ依存するか？
• RQ4 132が反転にちょうど一度現れる場合、τ回避またはτを含む反転の母関数にどのような影響を与えるか？
• RQ5 132回避反転と特定のパターン回避クラスの間で数え上げが等しくなる理由を説明する組合せ的双対写像は存在するか？

主な発見

• τ = 12⋯kの場合、母関数はJ_{12⋯k}(x) = x / U_k(1/(2x)) × ∑_{j=1}^{k-2} U_j(1/(2x))として与えられ、第二種チェビシェフ多項式への明示的依存関係が示された。
• τ = 213⋯kの場合、母関数はJ_{213⋯k}(x) = x / U_k(1/(2x)) × [xU_2(1/(2x)) + ∑_{j=2}^{k-2} U_j(1/(2x))]として与えられ、kに明示的な依存関係があることが示された。
• 132をちょうど一度含み、τ = 213⋯kである132回避反転の数は、J_{213⋯k}^1(x) = x(1−x²)/U_k(1/(2x))で与えられ、k ≥ 3に対して非ゼロであることが証明された。
• τ = 12⋯kの場合、132をちょうど一度含む反転の数はゼロ、すなわちJ_{12⋯k}^1(x) = 0である。これは構造的制約によるものである。
• τ = 23⋯k1の場合、母関数はJ_{23⋯k1}(x) = x²U_{k−3}(1/(2x)) / [(1−x)U_{k−2}(1/(2x))] × [1 + (1/U_{k−1}(1/(2x))) × ∑_{j=1}^{k−3} U_j(1/(2x))]として与えられ、kに複雑な依存関係があることが示された。
• τ = 2134の場合、このような反転の数はJ_{2134}(2n+3) = J_{2134}(2n+4) = F_{2n}として与えられ、(2n)番目のフィボナッチ数に一致し、明確な数値的結果が得られた。