[論文レビュー] Restricted Dyck Paths on Valleys Sequence

Rigoberto Flórez, Toufik Mansour+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2021

Advanced Combinatorial Mathematics被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、連続する谷の高さの差が少なくとも d であるという制約を課した非減少 Dyck 路の一般化として、制限付き d-Dyck 路を導入する。d = −1 の場合、ピークと半長さの統計に関する2変数生成関数を導出し、全面積に関する再帰的関係を確立し、面積生成関数の明示的公式を提示する。主な貢献は、(−1)-Dyck 路族の完全な組合せ的および代数的特徴付けであり、漸近的挙動と再帰的面積計算を含む。

ABSTRACT

In this paper we study a subfamily of a classic lattice path, the \emph{Dyck paths}, called \emph{restricted $d$-Dyck} paths, in short $d$-Dyck. A valley of a Dyck path $P$ is a local minimum of $P$; if the difference between the heights of two consecutive valleys (from left to right) is at least $d$, we say that $P$ is a restricted $d$-Dyck path. The \emph{area} of a Dyck path is the sum of the absolute values of $y$-components of all points in the path. We find the number of peaks and the area of all paths of a given length in the set of $d$-Dyck paths. We give a bivariate generating function to count the number of the $d$-Dyck paths with respect to the the semi-length and number of peaks. After that, we analyze in detail the case $d=-1$. Among other things, we give both, the generating function and a recursive relation for the total area.

研究の動機と目的

• パラメータ d で定義される連続する谷の高さ差に制約を課すことにより、非減少 Dyck 路の一般化を試みる。
• 特に d < 0 の場合に生じる生成関数が有理的ではなく代数的になることから、d-Dyck 路の組合せ的構造を分析する。
• d ≤ 0 の場合に、半長さとピーク数で数える d-Dyck 路の2変数生成関数を導出する。
• 全面積の観点から (−1)-Dyck 路を検討し、面積生成関数の再帰的および記号的表現を確立する。
• (−1)-Dyck 路の半長さ n における数 r−1(n) の漸近的挙動を調査する。

提案手法

• 連続する谷の高さ差 νi+1 − νi ≥ d を満たす制約を導入することで、d-Dyck 路の概念を定義する。
• 半長さ ℓ(P) とピーク数 ρ(P) を用いて、2変数生成関数 Ld(x, y) = ∑P∈Dd x^ℓ(P)y^ρ(P) を定義する。
• d = −e < 0 の場合、補助的な代数的関数 Se(x, y) を用いた関数方程式を導出し、Se(x, y) が複雑な代数的方程式を満たすことを示す。
• d = −1 の場合、台形とピラミッドへの路の分解を用いて、路の数 r−1(n) と全面積 a(n) の再帰的関係を構築する。
• 生成関数技法と再帰的分解を用いて、面積生成関数の記号的表現を導出する。
• 簡略化およびテレスコピング技法を適用し、面積列 a(n) の簡潔な再帰的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続する谷の高さ差 νi+1 − νi ≥ d という制約が、Dyck 路の構造と列挙に与える影響は何か？
• RQ2 特に d ≤ 0 の場合に、半長さとピーク数に関する d-Dyck 路の2変数生成関数は何か？
• RQ3 (−1)-Dyck 路の全面積の再帰的構造は何か？ また、それを記号的または再帰的に表現できるか？
• RQ4 r−1(n) の列挙はどのように漸近的に成長するか？ また、その組合せ的解釈は何か？
• RQ5 (−1)-Dyck 路の面積生成関数は閉形式で表現可能か、あるいは関数方程式で記述可能か？

主な発見

• d = −1 の場合、2変数生成関数 Le(x, y) は、非有理的代数的方程式を満たす代数的関数 Se(x, y) を含む関数方程式を満たす。
• 全 (−1)-Dyck 路数 r−1(n) は再帰的関係 r−1(n) = 2r−1(n−1) + r−1(n−2) + 2r−1(n−3) + (2n−5)q_{n−3} + ... を満たし、特定の初期条件を有する。
• 半長さ n のすべての (−1)-Dyck 路の全面積 a(n) は再帰的公式 a(n) = 3a(n−1) − a(n−2) + A_{n−2} + 2(n−1)q_{n−2} + 2n r−1(n−1) + ... を満たす。
• (−1)-Dyck 路の面積生成関数は、台形基部、ピラミッド構造、埋め込まれた部分路からの寄与を含む記号的に導出された。
• r−1(n) の漸近的成長が分析され、Catalan 数より速く成長することが示されたが、正確な漸近的形は明示的に計算されていない。
• 本稿では、(−1)-Dyck 路の全面積とCatalan数との間の関係を確立し、すべてのDyck路の全面積が 4^n − C_{n+1} に等しいことを示唆している。ここで C_n は第 n 個のCatalan数である。