[論文レビュー] Restricted frame graphs and a conjecture of Scott

Jérémie Chalopin, Louis Esperet+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 8被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、固定されたグラフ H の部分分割を誘導部分グラフとして含まないグラフの χ-有界性に関する Scott の予想を調査する。三角形を含まない線分交差グラフで彩色数が有界でないものの構成を分析することで、著者たちは新たな反例を同定する：任意の 2-連結な多重グラフで、すべての閉路に共通の頂点を含まないものについて、その ≥2-部分分割は反例である。さらに、K₄ のすべての辺を少なくとも一度部分分割することで得られるすべてのグラフについて、Scott の予想が成り立たないことを示している。

ABSTRACT

Scott proved in 1997 that for any tree $T$, every graph with bounded clique number which does not contain any subdivision of $T$ as an induced subgraph has bounded chromatic number. Scott also conjectured that the same should hold if $T$ is replaced by any graph $H$. Pawlik et al. recently constructed a family of triangle-free intersection graphs of segments in the plane with unbounded chromatic number (thereby disproving an old conjecture of Erd\H{o}s). This shows that Scott's conjecture is false whenever $H$ is obtained from a non-planar graph by subdividing every edge at least once. It remains interesting to decide which graphs $H$ satisfy Scott's conjecture and which do not. In this paper, we study the construction of Pawlik et al. in more details to extract more counterexamples to Scott's conjecture. For example, we show that Scott's conjecture is false for any graph obtained from $K_4$ by subdividing every edge at least once. We also prove that if $G$ is a 2-connected multigraph with no vertex contained in every cycle of $G$, then any graph obtained from $G$ by subdividing every edge at least twice is a counterexample to Scott's conjecture.

研究の動機と目的

• すべての H の部分分割を誘導部分グラフとして含まないグラフのクラスが χ-有界でない場合に、どのグラフ H が Scott の予想に反するかを特定すること。
• 非平面的グラフの ≥1-部分分割を超える範囲で、既知の Scott の予想に対する反例を拡張すること。
• Pawlik らの三角形を含まない線分交差グラフの構成において、H の部分分割が誘導部分グラフとして現れないようなグラフ H のクラスを同定すること。
• 2-連結な多重グラフで、すべての閉路に共通の頂点を含まないものについて、その ≥2-部分分割が Scott の予想に対する反例であることを証明すること。
• 制限付きフレームグラフと、反例を生じさせる H の構造的性質との間の関係を確立すること。

提案手法

• 平面における線分の交差グラフで彩色数が有界でない三角形を含まないグラフの Pawlik らの構成を分析すること。
• これらのグラフが制限付きフレームグラフであるという事実を用いる — これは、平面内の特定の弧状に連結な図形の交差グラフとして定義される。
• H が部分分割として表現できない制限付きフレームグラフであるようなグラフ H を同定し、それらが Scott の予想に対する反例であることを示すこと。
• 2-連結成分への分解に基づいて、多重グラフ G が ≥2-部分分割として制限付きフレームグラフを許容するかどうかをテストする再帰的アルゴリズムを適用すること。
• 構造的グラフ理論を用いて、シャンデリア、フィードバック頂点、および切断頂点を同定し、≥2-部分分割が制限付きフレームグラフになれない状況を特定すること。
• Walczak の修正構成で示されたように、制限付きフレームグラフはツインの追加に対して安定であるという事実を活用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのグラフ H に対して、すべての H の部分分割を誘導部分グラフとして含まないグラフのクラスが χ-有界でないか？
• RQ2 Pawlik らの構成は、非平面的グラフの ≥1-部分分割を超えて、Scott の予想に対するより広いクラスの反例を生成できるか？
• RQ3 どの多重グラフ G に対して、G のすべての ≥2-部分分割が Scott の予想に対する反例であるか？
• RQ4 多重グラフ G にどのような構造的条件を課すと、G の ≥2-部分分割が制限付きフレームグラフになれないか？
• RQ5 線分交差構成において、H の部分分割が誘導部分グラフとして現れないようなグラフ H の完全な同定は可能か？

主な発見

• K₄ のすべての辺を少なくとも一度部分分割することで得られる任意のグラフについて、Scott の予想は成り立たない。
• すべての閉路に共通の頂点を含まない 2-連結な多重グラフの ≥2-部分分割は、すべて Scott の予想に対する反例である。
• 制限付きフレームグラフのクラスはツインの追加に対して閉じており、これにより元の Pawlik らの構成から Walczak の修正構成への反例の拡張が可能である。
• 2-連結成分とフィードバック頂点に基づいて、多重グラフ G が ≥2-部分分割として制限付きフレームグラフを許容するかどうかを完全にアルゴリズム的に同定する方法が提供されている。
• Pawlik らの構成により、彩色数が有界でないが、線形サイズの安定集合を含まないグラフが得られ、そのような族においては分数彩色数すら有界でないことが示唆される。
• 結果として、これまでに知られていた範囲をはるかに超えて、特定の H の部分分割を誘導部分グラフとして含まないグラフのクラスが χ-有界でないことが示された。これには、普遍頂点を持たない 2-連結な多重グラフのすべての ≥2-部分分割が含まれる。