[論文レビュー] Restricted normal cones and the method of alternating projections

Heinz H. Bauschke, D. Lüke+2 more|arXiv (Cornell University)|May 2, 2012

Optimization and Variational Analysis参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、Mordukhovichの法線コーンの一般化として制限付き正規コーンを導入し、非凸かつ構造的集合に対する交互射影法（MAP）の収束解析を拡張する。制限付き正規コーンを用いて制約条件と正則性条件を統合することで、交わりが空でない2つの閉凸集合、線形部分空間、および凸集合の和集合に対して、局所的線形収束を確立する。これは、従来の枠組みが2次元空間における2本の直線のような古典的凸ケースに対しても失敗していたという限界を解消する。

ABSTRACT

The method of alternating projections (MAP) is a common method for solving feasibility problems. While employed traditionally to subspaces or to convex sets, little was known about the behavior of the MAP in the nonconvex case until 2009, when Lewis, Luke, and Malick derived local linear convergence results provided that a condition involving normal cones holds and at least one of the sets is superregular (a property less restrictive than convexity). However, their results failed to capture very simple classical convex instances such as two lines in three-dimensional space. In this paper, we extend and develop the Lewis-Luke-Malick framework so that not only any two linear subspaces but also any two closed convex sets whose relative interiors meet are covered. We also allow for sets that are more structured such as unions of convex sets. The key tool required is the restricted normal cone, which is a generalization of the classical Mordukhovich normal cone. We thoroughly study restricted normal cones from the viewpoint of constraint qualifications and regularity. Numerous examples are provided to illustrate the theory.

研究の動機と目的

• 非凸設定における交互射影法（MAP）の収束理論におけるギャップ、特にR³における2本の交わる直線のような古典的凸例に対して、収束理論を拡張すること。
• スーパーレギュラー性と法線コーン条件に依存するLewis-Luke-Malick枠組みを、従来の結果が失敗した凸集合および線形部分空間を含めるように拡張すること。
• 問題の幾何構造に適応する新しい法線コーン概念を導入することで、非凸収束結果と古典的凸解析を統一すること。
• 正規コーンの制限レベルを変化させることで、全空間から境界または射影に基づく集合まで、柔軟な枠組みを提供し、MAPの収束を分析すること。
• 凸集合やスーパーレギュラー集合の和集合のような構造的集合へのMAPの適用を可能にし、最適化および信号処理分野における応用範囲を広げること。

提案手法

• 制限付き正規コーンを、アフィン包や境界、射影像などの制限集合に対して定義することで、Mordukhovichの法線コーンの一般化として導入する。
• 制限付き正規コーンを用いて、(A, Ã, B, B̃)-CQ（制約条件）を定義し、集合AとBが交わる点における関係性を評価する。
• 制限付き正規コーンを用いて、MAPの局所的線形収束の新たな十分条件を定式化し、古典的法線コーンをより柔軟なバージョンに置き換える。
• A ∪ Bのアフィン包を制限集合として用いることで、2つの線形部分空間に対して線形収束が得られる古典的凸収束結果を回復する。
• 境界や射影像などの適切な制限集合を選択することで、凸集合の和集合や非滑らか集合のような非凸例に対しても、フレームワークを適用する。
• 変分解析の道具、特にスーパーレギュラー性と正則性を用いて、新しい制限コーン枠組み下でのMAPの挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 交互射影法（MAP）の収束枠組みを、2本の交わる直線がR³に存在するような古典的凸例にも拡張できるか。これは、従来の非凸収束結果の範囲外にあった。
• RQ2 Lewis-Luke-Malick枠組みにおける法線コーン条件を、凸集合と非凸集合の両方を扱えるように一般化する方法は何か。この一般化が局所的線形収束を保つ条件は何か。
• RQ3 制限付き正規コーンにおける制限集合（Ã, B̃）の役割は何か。X×X、aff(A∪B)、境界、射影像などの異なる選択肢が、収束条件の適用可能性と強度に与える影響は何か。
• RQ4 制限付き正規コーン枠組みは、凸集合と非凸集合の両方の既存の収束結果を、一つの理論的枠組みで統一できるか。
• RQ5 集合が凸集合やスーパーレギュラー集合の和集合である場合、MAPがどのような条件下で線形収束するか。

主な発見

• 制限付き正規コーンにより、2つの線形部分空間に対して局所的線形収束が回復され、Lewis-Luke-Malick枠組みの主要な限界が解消される。
• 制限集合をA ∪ Bのアフィン包に選ぶと、2本の交わる直線がR³に存在するような古典的凸収束結果が、フレームワークによって回復される。
• (A, Ã, B, B̃)-CQ条件において、Ã = aff(A ∪ B) かつ B̃ = aff(A ∪ B) とすると、交わりが空でない任意の2つの閉凸集合に対して局所的線形収束が保証される。
• 非凸集合、例えば凸集合の和集合に対しては、境界や射影像などのより積極的な制限集合を選択することで、フレームワークが線形収束を可能にする。
• 古典的法線コーン手法が失敗するケース、例えばN_A(c) ∩ (-N_B(c)) ≠ {0} の場合でも、余計な法線ベクトルを排除する制限付きコーンを用いることで、フレームワークが正常に機能する。
• 例10.29において、(Ã, B̃) = (P_A((bdry B) ackslash A), P_B((bdry A) ackslash B)) を選ぶと、制限付き正規コーンが{0}（自明）となり、CQ条件を満たし、有限収束が保証される。これは、フレームワークの柔軟性と強力さを示している。