[論文レビュー] Restriction categories III: colimits, partial limits, and extensivity

J.R.B. Cockett, Stephen Lack|Oct 16, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 56

ひとこと要約

本稿は制限圏における余極限と極限の理論を展開し、特定の適合条件を満たすラックス極限としての「部分的極限」の新しい概念を導入する。制限余直積が広義的であるとき、全体圏は広義的積を持つようになり、分配的圏の広義的完備化を、2-圏における広義的圏のクラスにへの双反射を通じて圏論的に構成する。

ABSTRACT

A restriction category is an abstract formulation for a category of partial maps, defined in terms of certain specified idempotents called the restriction idempotents. All categories of partial maps are restriction categories; conversely, a restriction category is a category of partial maps if and only if the restriction idempotents split. Restriction categories facilitate reasoning about partial maps as they have a purely algebraic formulation. In this paper we consider colimits and limits in restriction categories. As the notion of restriction category is not self-dual, we should not expect colimits and limits in restriction categories to behave in the same manner. The notion of colimit in the restriction context is quite straightforward, but limits are more delicate. The suitable notion of limit turns out to be a kind of lax limit, satisfying certain extra properties. Of particular interest is the behaviour of the coproduct both by itself and with respect to partial products. We explore various conditions under which the coproducts are ``extensive'' in the sense that the total category (of the related partial map category) becomes an extensive category. When partial limits are present, they become ordinary limits in the total category. Thus, when the coproducts are extensive we obtain as the total category a lextensive category. This provides, in particular, a description of the extensive completion of a distributive category.

研究の動機と目的

• 制限圏における余極限と極限を形式化し、圏論の双対性が制限圏へは拡張されないことに気づくこと。
• 制限圏における適切な極限の概念を定義し、部分性の非対称性のため、通常の極限ではなく追加構造を備えたラックス極限でなければならないことを示すこと。
• 制限余直積が「広義的」である、すなわち広義的圏における直積と同様に振る舞う条件を特定すること。
• 制限余直積と部分的積を持つ制限圏の全体圏が広義的積を持つこと、したがって分配的圏の広義的完備化を構成できることを示すこと。
• 任意の分配的圏から、有限積を持つ広義的圏の2-圏への双反射を、分類モナドと制限圏の全体圏を用いて確立すること。

提案手法

• 制限圏を部分写像の圏の完全部分圏として導入し、制限イデムポテン（f̄f = f かつ f̄ḡ = ḡf̄ を満たす写像）が定義域情報を符号化することを示す。
• 制限余直積を2-圏 rCat 内の直積として定義し、この2-圏における対角写像と終端写像への左随伴性を要請する。
• 「部分的積」を2-圏 rCatl におけるカルテジアン対象として定義し、2-セルをラックス自然変換として扱い、制限構造と適合させる。
• 制限積と余直積を持つ制限圏の全体圏が、余直積が広義的であるとき、広義的圏となることを特徴づける。
• 分配的圏 D に対して K_r(D_{+1}) の圏を構成し、その全体圏が D の広義的完備化となるようにする。
• 双随伴と分類モナドを用いて、標準的関手 N: D → Total(K_r(D_{+1})) が Total(K_r(D_{+1})) が有限積を持つ広義的圏の2-圏への双反射であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制限圏では自己双対性が成り立たないため、余極限はどのように定義すべきか？
• RQ2 制限圏における正しい極限の概念とは何か？ 通常の圏における通常の極限とはどのように異なるか？
• RQ3 制限余直積が広義的圏における直積と同様に振る舞うための条件は何か？
• RQ4 制限圏と分類モナドを用いて、分配的圏の広義的完備化を圏論的にどのように構成できるか？
• RQ5 分類モナドの準同型が、広義的完備化の普遍性を特徴づける役割を果たすか？

主な発見

• 制限余直積は2-圏 rCat 内の直積として定義され、対角写像と終端写像への左随伴性が要請され、制限構造と適合する。
• 制限圏における極限の概念は通常の極限ではなく、制限イデムポテンを含む特定の適合条件を満たすラックス極限である。
• 制限余直積が広義的であるとき、制限圏の全体圏は広義的積を持つようになり、有限積と余直積が広義的性質を満たす。
• 分配的圏 D に対して K_r(D_{+1}) の全体圏は、有限積を持つ広義的圏の2-圏への双反射を通じて、D の広義的完備化であることが示された。
• 有限余直積を保存する分配的圏間の任意の関手は、一意に分類モナドの準同型に拡張可能であり、このような関手の自然変換は自動的に分類モナドの変換である。
• 標準的関手 N: D → Total(K_r(D_{+1})) が Total(K_r(D_{+1})) を有限積を持つ広義的圏の2-圏への双反射として特徴づけ、広義的完備化の普遍性が確立された。