[論文レビュー] Restriction de la représentation de Weil à un sous-groupe compact maximal ou à un tore maximal elliptique

Khemais Maktouf, Pierre Torasso|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、p ≠ 2 であるp進体上のメタプレクティック群における、Weil表現の最大コンパクト部分群または最大楕円的トーラスへの制限を調査する。表現論的技法を用いて、このような制限が重複なしに分解され、その可約成分またはそれらの特徴関数を明示的に同定することを証明し、これらの部分群に対して完全かつ重複なしの分解を提供する。

ABSTRACT

Weil's representation is a basic object in representation theory which plays a crucial role in many places: construction of unitary irreducible representations in the frame of the orbit method, Howe correspondence, Theta series,... The decomposition in irreducible of the restriction of Weil's representation to maximal compact subgroups or anisotropic tori of the metaplectic group is thus an important information in representation theory. Except for SL(2), this was not known in the p-adic case. In this article, we prove that the restriction of the Weil representation over a p-adic field, p different from 2, to maximal compact subgroups or maximal elliptic tori is multiplicity free and give an explicit description of the irreducible representations or characters occurring.

研究の動機と目的

• p進体上のメタプレクティック群における最大コンパクト部分群または最大楕円的トーラスへのWeil表現の構造を理解すること。
• このような制限が重複を伴うか、重複なしに分解されるかを特定すること。
• 分解に現れる可約成分または特徴関数を明示的に記述すること。
• これらの重要な部分群に対する制限における成分を完全かつ正確に分類すること。
• メタプレクティック設定における非分裂的またはコンパクトな部分群への制限におけるWeil表現の振る舞いの理解を拡張すること。

提案手法

• 著者たちは、p ≠ 2 であるp進体におけるWeil表現の理論を用いる。
• 調和解析と特徴関数論を用いて、メタプレクティック群から最大コンパクト部分群へのWeil表現の制限を分析する。
• 再帰的群における最大楕円的トーラスの理論を応用し、それらがWeil表現に作用する様子を研究する。
• Heisenberg群およびその関連するSch"odingerモデルへのWeil表現の作用を通じて、分解を分析する。
• 明示的な特徴関数計算と表現論的双対性を用いて、可約成分を同定する。
• 証明は、メタプレクティック群の構造および部分群への制限におけるWeil表現の振る舞いに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p ≠ 2 であるp進体上のメタプレクティック群におけるWeil表現は、最大コンパクト部分群に制限された際に重複なしに分解されるか？
• RQ2 最大コンパクト部分群に制限されたWeil表現に現れる明示的な可約成分は何か？
• RQ3 メタプレクティック群における最大楕円的トーラスに制限されたWeil表現はどのように分解されるか？
• RQ4 制限における可約成分の特徴関数を明示的に記述できるか？
• RQ5 メタプレクティック群およびWeil表現のどのような構造的性質が、これらの状況における重複なしの分解を保証するか？

主な発見

• メタプレクティック群の最大コンパクト部分群へのWeil表現の制限は、重複なしに分解される。
• 最大コンパクト部分群への制限における可約成分は、その特徴関数または表現を用いて明示的に記述される。
• 最大楕円的トーラスへの制限に対しても、重複なしに分解される。
• トーラスへの制限における可約成分は、特徴関数データを用いて明示的に同定される。
• 分解は正規化可能であり、選択に依存せず、Weil表現構造における深い対称性を反映している。
• 結果は、p ≠ 2 であるすべてのp進体に対して成り立ち、p = 2 はメタプレクティック設定における技術的障害のため除外される。