[論文レビュー] Restructuring of Discrete Logarithm Problem and ElGamal Cryptosystem by Using the Power Fibonacci Sequence Module M

Çağla Özyılmaz, Ayşe Nallı|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2018

Coding theory and cryptography参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、合成数 $ m $ を法とする累乗フィボナッチ数列上の離散対数問題に裏付けられた、ElGamal暗号方式の新規変種を提案する。これらの数列の巡回的かつ乗法的群構造を活用することで、従来の素数を法とする場合に限られていた離散対数問題を合成数を法とするものへと再定式化し、より高い安全性と従来の素数ベースのElGamalを上回る平文空間を実現する新しい暗号方式を構築した。敵対者にとっての計算的困難性が増加するため、本方式は優れた暗号的利点を示している。

ABSTRACT

In this paper, we have studied on adapting to asymmetric cryptography power Fibonacci sequence module m . To do this, We have restructed Discreate Logarithm Problem which is one of mathematical difficult problems by using power Fibonacci sequence module m and by means of this sequences, we have made the mathematical difficult problem which is used only in prime modules is also useful for composite modules. Then we have constructed cryptographic system based on this more difficult problem which we have rearranged. Hence, we have obtained a new cryptosystem as ElGamal Cryptosystem. Lastly, we have compared that ElGamal Cryptosystem and a new cryptosystem which we constitute in terms of cryptography and we have obtained that a new cryptosystem is more advantageuos than ElGamal Cryptosystem.

研究の動機と目的

• 累乗フィボナッチ数列を用いて、離散対数問題の適用範囲を素数を法とするものから合成数を法とするものへ拡張すること。
• 累乗フィボナッチ数列を法とする再定式化された離散対数問題に基づく、新しい公開鍵暗号方式を構築すること。
• 暗号解析の困難性を高めるとともに、平文空間を拡大することで、従来のElGamal暗号方式を改善すること。
• 標準的なElGamalと比較して、特に合成数を法とする条件下で本方式がより強固な暗号的セキュリティを提供することを示すこと。

提案手法

• 合成数 $ m $ を法とする累乗フィボナッチ数列を定義し、$ \mathbb{Z}_m^* $ の巡回的乗法的部分群をなすことを示す。
• 離散対数問題を、$ \alpha^a \equiv \beta \pmod{m} $ を満たす $ a $ を求める問題に再定式化する。ここで $ \alpha $ は、$ m $ を法とする累乗フィボナッチ数列から導かれる部分群の生成元である。
• $ \alpha $、$ \beta = \alpha^a \mod m $、およびランダムな $ k $ を用いて、$ y_1 = \alpha^k \mod m $、$ y_2 = x \cdot \beta^k \mod m $ を計算する新しいElGamalに類似した暗号方式を構築する。
• 秘密鍵 $ a $ を用いて、$ x = y_2 \cdot (y_1^a)^{-1} \mod m $ により復号を可能にする。
• 平文空間のサイズを拡大するために、合成数 $ m $（例：$ m = 1045 $）を用い、$ \mathbb{Z}_m^* $ の部分群における原始元 $ \alpha $ を選ぶ。
• 具体的な例として $ m = 1045 $、$ \alpha = 338 $、$ a = 547 $、$ x = 1001 $、$ k = 162 $ を用い、$ (y_1, y_2) = (229, 374) $ が得られ、正しく平文1001に復号されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 累乗フィボナッチ数列を用いて、合成数を法とする離散対数問題を再定式化できるか？
• RQ2 累乗フィボナッチ数列を法とする暗号方式を構築することで、標準的なElGamalの代替としてより安全な選択肢が得られるか？
• RQ3 本方式の平文空間のサイズとセキュリティは、古典的なElGamalと比較してどのように異なるか？
• RQ4 特に $ m = 5p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots $ のような形の合成数 $ m $ を用いることで、新規暗号方式のセキュリティと効率性にどのような影響が生じるか？
• RQ5 累乗フィボナッチ数列を法とするもので、$ \mathbb{Z}_m^* $ の巡回的乗法的部分群を生成でき、その位数が $ \varphi(m) $ を割り切るか？

主な発見

• 累乗フィボナッチ数列を法とするものでは、$ \mathbb{Z}_m^* $ の巡回的乗法的部分群をなすことが確認され、その位数は $ \varphi(m) $ を割り切る。この性質により、暗号的応用に適した代数的構造が得られる。
• 累乗フィボナッチ数列を法とする離散対数問題は、合成数を法とする設定に適応可能に再定式化され、問題の適用範囲が素数体から拡張された。
• 本方式は、$ m $ を法とする累乗フィボナッチ数列に基づくElGamalと命名され、平文の最大値が $ m-1 $ まで可能であるのに対し、従来のElGamalは $ p-1 $ に制限されるため、平文空間が顕著に拡大される。
• 同じセキュリティ水準下で、攻撃者が試行すべき値の数が増加するため、ブルートフォース攻撃に対する耐性が向上する。
• $ m = 1045 $、$ \alpha = 338 $、$ a = 547 $、$ x = 1001 $、$ k = 162 $ を用いた例では、暗号化により $ (229, 374) $ が得られ、正しく1001に復号される。この結果は、本方式の正当性を検証するものである。
• 合成数を法とする環境下で累乗フィボナッチ数列を用いることで、離散対数問題の解法がより複雑化するため、本方式は標準的なElGamalに比べて優位な暗号的利点を有する。