[論文レビュー] Resultants and Chow forms via Exterior Syzygies

David Eisenbud, Frank–Olaf Schreyer|ArXiv.org|Nov 5, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、外的シンジーキーとグラスマンニアン上の正規 Chow 複体を用いて、 Chow 形式および結果式の計算のための新しい手法を提示する。これは、ベイリンソンのモノイドを一般化したものであり、ベクトルバンドル理論とホロックス＝マナーフォードバンドルを用いて、結果式の明示的な行列式およびパフィアンの公式を導出する。特に、5変数の8次形式5つに対するパフィアン表現を含む、古典的でない場合の結果式の公式を拡張する。

ABSTRACT

Given a sheaf on a projective space P^n we define a sequence of canonical and easily computable Chow complexes on the Grassmannians of planes in P^n, generalizing the Beilinson monad on P^n. If the sheaf has dimension k, then the Chow form of the associated k-cycle is the determinant of the Chow complex on the Grassmannian of planes of codimension k+1. Using the theory of vector bundles and the canonical nature of the complexes we are able to give explicit determinantal and Pfaffian formulas for resultants in some cases where no polynomial formulas were known. For example, the Horrocks-Mumford bundle gives rise to a polynomial formula for the resultant of five homogeneous forms of degree eight in five variables.

研究の動機と目的

• 射影空間上の層に対して、グラスマンニアン上の正規 Chow 複体を用いて、ベイリンソンのモノイドを一般化すること。
• これまでに知られていなかった場合の Chow 形式および結果式の明示的な多項式公式を提供すること。
• ベクトルバンドル構成を用いて、古典的 Bézout および Sylvester 型の公式を高次元多様体および高次多項式へと拡張すること。
• 射影多様体の幾何学と、グラスマンニアン上での行列式およびパフィアンの代数的構造との間の関係を確立すること。
• ホロックス＝マナーフォードバンドルを活用し、5変数の8次形式5つに対する新しいパフィアンの結果式の公式を導出すること。

提案手法

• $\mathbb{P}^n$ の平面のグラスマンニアン上で、外的シンジーキーとベクトルバンドル理論を用いて、正規 Chow 複体の系列を構成する。
• $k$ 次元サイクルの Chow 形式を、余次元 $k+1$ 平面のグラスマンニアン上の Chow 複体の行列式として定義する。
• これらの複体の正規性を活用して、ピルッカー座標表現を導出し、特に交代行列に対するパフィアンを含む。
• 特に $\mathbb{P}^2$ 上のランク2バンドルおよびホロックス＝マナーフォードバンドルを含むベクトルバンドル理論を応用し、新しいステイフェル座標表現を構築する。
• 有向関係 $\mathbb{F}_l \to \mathbb{G}_l$ を通じて Chow 除数を引き戻し、結果式をステイフェル座標における行列式またはパフィアンとして表現する。
• Macaulay2 プログラムを用いて、具体的な例（特に5変数の8次の場合）における行列の計算と検証を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影多様体の Chow 形式は、ピルッカー座標またはステイフェル座標における行列式またはパフィアンとして表現可能か？
• RQ2 既知のケースを超えて、$k+1$ 個の $k+1$ 変数の同次多項式の結果式の明示的な多項式公式は何か？（特に $d \geq 2$ の場合）
• RQ3 ホロックス＝マナーフォードバンドルは、高次元における結果式の新しいパフィアン公式を構築するためにどのように利用可能か？
• RQ4 外的シンジーキーおよび正規複体の理論は、Chow 形式の計算において、ベイリンソンのモノイドをどの程度一般化できるか？
• RQ5 ピルッカー座標における交代行列を用いて、任意の次数の3変数形式の結果式に対する新しい Bézout 型の公式は存在するか？

主な発見

• $\mathbb{P}^n$ 内の $k$ 次元多様体の Chow 形式は、外的シンジーキーを用いて構成された、グラスマンニアン $\mathrm{Gr}(k+1, n+1)$ 上の Chow 複体の行列式として与えられる。
• 3変数の3次形式3つに対して、結果式はピルッカー座標における線形形式からなる $8 \times 8$ 交代行列のパフィアンとして与えられる。
• ホロックス＝マナーフォードバンドルにより、5変数の8次同次多項式5つに対する結果式のパフィアンステイフェル表現が得られ、これは以前は多項式公式が知られていなかったケースである。
• $k+1$ 個の $k+1$ 変数の $d \geq 2$ 次多項式の結果式に対して、既知のケース（$k \leq 3$ および $k=4, d=2$）を超えて、新しいステイフェル表現が構築された。
• 本手法により、Macaulay2 コードが明示的に生成され、これまでに計算が困難であった結果式の計算が可能になった。
• 理論により、任意の次数の3変数形式の結果式について、ピルッカー座標における Bézout 型の公式を体系的に導出するフレームワークが提供された。