[論文レビュー] Results and conjectures related to a conjecture of Erdős concerning primitive sequences

Bakir Farhi|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、原始的数列 A ≠ {1} における ∑₁/(a log a) の和が、素数の列で最大になるというエルデシュの予想を検証する。x ≥ 363 のとき、ある種の同次的数列（例：正確に5つの素因数を持つ数）に対して、対応する和 ∑₁/(a(log a + x)) が素数の和を上回ることを示し、エルデシュの予想の自然な一般化を否定する。この結果は、x が大きい場合には素数列が重み付き和を最大化しないことを示しており、最適化される数列が x に依存する可能性があることを示唆する。

ABSTRACT

A strictly increasing sequence $\mathscr{A}$ of positive integers is said to be primitive if no term of $\mathscr{A}$ divides any other. Erdős showed that the series $\sum_{a \in \mathscr{A}} \frac{1}{a \log a}$, where $\mathscr{A}$ is a primitive sequence different from $\{1\}$, are all convergent and their sums are bounded above by an absolute constant. Besides, he conjectured that the upper bound of the preceding sums is reached when $\mathscr{A}$ is the sequence of the prime numbers. The purpose of this paper is to study the Erdős conjecture. In the first part of the paper, we give two significant conjectures which are equivalent to that of Erdős and in the second one, we study the series of the form $\sum_{a \in \mathscr{A}} \frac{1}{a (\log a + x)}$, where $x$ is a fixed non-negative real number and $\mathscr{A}$ is a primitive sequence different from $\{1\}$. In particular, we prove that the analogue of Erdős's conjecture for those series does not hold, at least for $x \geq 363$. At the end of the paper, we propose a more general conjecture than that of Erdős, which concerns the preceding series, and we conclude by raising some open questions.

研究の動機と目的

• 原始的数列における ∑₁/(a log a) の和が素数の列で最大になるというエルデシュの予想の妥当性を検証すること。
• 非負の x に対して、∑₁/(a(log a + x)) の形をとる和への予想の一般化が成り立つかどうかを調査すること。
• x が大きい場合においても、素数列がこのような重み付き和において最適なままであるか、それとも他の原始的数列がより大きな値をもたらすかを特定すること。
• 各 x ≥ 0 に対して、∑₁/(a(log a + x)) の上界が、ある種の同次的数列 P_k（正確に k 個の素因数を持つ数）によって達成されることを示唆する一般化された予想を提示すること。
• 素数の和が最大でない x の値の集合 I に関する未解決問題を特定すること。

提案手法

• エルデシュの元の予想と同値な2つの予想を提示する：1つは A の素因数に基づくもの、もう1つは A の大きさに基づくもの。
• 固定された x ≥ 0 に対して、原始的数列 A ≠ {1} における重み付き和 S(A, x) = ∑₁/(a(log a + x)) を分析する。
• 反例を構成するために、特に P_5 を含む同次的数列 P_k = {n : Ω(n) = k} をテストケースとして用いる。
• Excel の Solver を用いた最適化技術を適用し、パラメータ α, d, c を含む境界式の最小化により、閾値 x₀ = 363 を特定する。
• P_k における和の下界を導出し、素数の和と比較することで、x ≥ 363 のとき前者が後者を上回ることを示す。
• x ≥ 363 のとき、特定の原始的数列（特に P_5）が存在し、∑₁/(a(log a + x)) > ∑₁/(p(log p + x)) を満たすことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての x ≥ 0 に対して、原始的数列における ∑₁/(a(log a + x)) の和は素数列で最大になるか？
• RQ2 どの x の値において、素数列が ∑₁/(a(log a + x)) を最大化しなくなるか？
• RQ3 すべての x ≥ x₀ に対して、ある P_k（同次的数列）における和が素数における和を上回るような値 x₀ が存在するか？
• RQ4 素数の和が最大でない x の値の集合 I は、位相的に特徴付けられるか（例：区間、開集合、閉集合など）？
• RQ5 集合 I の下界は何か？また、x = 0 を含むか？

主な発見

• x ≥ 363 のとき、原始的数列（特に正確に5つの素因数を持つ整数の集合 P_5）が存在し、∑₁/(a(log a + x)) > ∑₁/(p(log p + x)) を満たす。
• 閾値 x₀ = 363 は実効的に計算可能であり、パラメータ α, d, c を含む境界式の最適化により導出される。
• この結果は、エルデシュの予想を ∑₁/(a(log a + x)) に自然に一般化した場合、すべての x ≥ 363 において誤りであることを示している。
• x が大きい場合には、素数列が重み付き和 ∑₁/(a(log a + x)) を最大化しないことが示され、最適化される数列が x に依存する可能性があることを示唆する。
• 論文は、予想 3.6 を提示し、各 x ≥ 0 に対して、∑₁/(a(log a + x)) の上界が k ≥ 1 を満たすある同次的数列 P_k によって達成されることを示唆している。
• 素数の和が最大でない x の値の集合 I は [363, ∞) を含むが、その完全な構造（例：区間であるか、開集合か閉集合かなど）は未だ不明である。