[論文レビュー] Results in descriptive set theory on some represented spaces

Mathieu Hoyrup|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2017

Advanced Topology and Set Theory参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、表現された空間における記述的集合論の基本的限界を確立し、特にベール空間 ℵℕ の開集合の空間の Σ⁰₂-部分集合としての特定の開集合がボレルでないことを示し、また、クリーネ＝クライゼル空間 ℕ⟨α⟩ やベール空間からこれらの空間の開集合へ連続的または計算可能 surjection が存在しないことを証明する。結果は、多価関数および固定点を持たない関数を用いた洗練された対角線的議論と、標準化可能空間の概念を用いて導出される。

ABSTRACT

Descriptive set theory was originally developed on Polish spaces. It was later extended to $ω$-continuous domains [Selivanov 2004] and recently to quasi-Polish spaces [de Brecht 2013]. All these spaces are countably-based. Extending descriptive set theory and its effective counterpart to general represented spaces, including non-countably-based spaces has been started in [Pauly, de Brecht 2015]. We study the spaces $\mathcal{O}(\mathbb{N}^\mathbb{N})$, $\mathcal{C}(\mathbb{N}^\mathbb{N},2)$ and the Kleene-Kreisel spaces $\mathbb{N}\langleα angle$. We show that there is a $Σ^0_2$-subset of $\mathcal{O}(\mathbb{N}^\mathbb{N})$ which is not Borel. We show that the open subsets of $\mathbb{N}^{\mathbb{N}^\mathbb{N}}$ cannot be continuously indexed by elements of $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ or even $\mathbb{N}^{\mathbb{N}^\mathbb{N}}$, and more generally that the open subsets of $\mathbb{N}\langleα angle$ cannot be continuously indexed by elements of $\mathbb{N}\langleα angle$. We also derive effective versions of these results. These results give answers to recent open questions on the classification of spaces in terms of their base-complexity, introduced in [de Brecht, Schröder, Selivanov 2016]. In order to obtain these results, we develop general techniques which are refinements of Cantor's diagonal argument involving multi-valued fixed-point free functions and that are interesting on their own right.

研究の動機と目的

• 表現された空間における開集合の記述的複雑性を調査し、特にベール空間やクリーネ＝クライゼル空間のような非可算的基底を持たない設定を対象とする。
• dBSS16 で導入された空間のベース複雑性分類に関する未解決問題を解決する。特に、普遍的開集合の存在に関する問題を扱う。
• ポーランド空間や準ポーランド空間にとどまらず、一般の表現された空間へ有効的および古典的記述的集合論を拡張し、パラメータ化と列挙可能性に焦点を当てる。
• 連続的および計算可能な両設定において、不可能性結果を証明する一般的手法を、カントールの対角線的議論に基づいて開発する。
• 特にマークフ・計算可能性および Σ¹ₖ-オракル列挙の文脈において、開集合の計算可能および連続的パラメータ化の限界を明確化する。

提案手法

• トポロジカル空間における多価関数へのカントールの対角線的議論の適応を試み、固定点を持たない構成を用いて、普遍的パラメータ化の存在を否定する。
• 関数や同値類の取り扱いにおける拡張性の問題を扱うために、「標準化可能空間」という概念を導入する。
• 開集合のラティス上で固定点を持たない明示的な多価関数を構成し、潜在的な普遍的集合に対する対角線的反証を可能にする。
• 実現者と表現を用いて、位相的および計算可能性理論的性質を論理的クラス（例：Σ⁰₂、Σ¹ₖ）に翻訳し、空間間の比較を可能にする。
• 計算可能開集合の空間 ℵℕ にたいして対角線的法を適用し、それらが Σ¹ₖ-集合からもしくは Δ¹ₖ-オラクルから列挙できないことを示す。
• 空間 ℵℕ×ℵℕ の開集合の空間 𝒪(ℵℕ×ℵℕ) が ℵℕ と計算的に同型であることを証明する。これは、ℵℕ から 𝒪(ℵℕ) への計算的 surjection が存在しないことを示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 𝒪(ℕℕ) の Σ⁰₂-部分集合のうち、ボレルでないもの是否存在するか？
• RQ2 α ≥ 2 のとき、ℕ⟨α⟩ から 𝒪(ℕ⟨α⟩) への連続的 surjection は存在するか？
• RQ3 k ≥ 2 のとき、ℕ の Σ¹ₖ-部分集合から、ℕ⟨k⟩ の計算可能開集合の列挙が可能か？
• RQ4 ℕ のマークフ半決定的開集合は Σ⁰₃-列挙可能か？
• RQ5 𝒪(ℕᴹ) の表現の定義域の正確な複雑性は何か？ そしてそれはパラメータ化をどのように制約するか？

主な発見

• 𝒪(ℕℕ) の非ボレルな Σ⁰₂-部分集合が存在する。これは、この設定においてボレル階層が崩壊しないことを示している。
• 任意の可算順序数 α ≥ 2 に対して、ℕ⟨α⟩ から 𝒪(ℕ⟨α⟩) への連続的 surjection は存在せず、したがって ℕ⟨α⟩-普遍的開集合は存在しない。
• k ≥ 2 のとき、ℕ の任意の Σ¹ₖ-部分集合からも、Δ¹ₖ-オラクルを用いても、ℕ⟨k⟩ の計算可能開集合の列挙は不可能である。
• ℕᴹ の計算可能開集合（マークフ半決定的集合）は Σ⁰₃-列挙可能ではなく、任意の Σ⁰₃-集合による計算的パラメータ化も不可能である。
• 空間 𝒪(ℕᴹ × ℕᴹ) は 𝒪(ℕᴹ) と計算的に同型である。これは、ℕᴹ から 𝒪(ℕᴹ) への連続的もしくは計算的 surjection が存在しないことを示唆する。
• 𝒪(ℕᴹ) の表現の定義域は Π⁰₃-集合であり、したがって ℕᴹ の計算可能開集合は Π⁰₃-列挙可能ではあるが、Σ⁰₃-列挙可能ではない。