[論文レビュー] Results on numerics for FBSDE with drivers of quadratic growth

Peter Imkeller, Gon ccalo dos Reis+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2010

Stochastic processes and financial applications被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、二乗成長を示すドライバを有する前向き・後向き確率微分方程式（FBSDE）の数値解法を提示する。ドライバの打ち切りとCole-Hopf変換を用いることで収束解析が可能となり、打ち切り高さの関数として明示的な誤差推定を確立するとともに、制御成分のパス正則性を証明し、弱い滑らかさの仮定のもとで数値スキームの収束速度を導出する。

ABSTRACT

We consider the problem of numerical approximation for forward-backward stochastic differential equations with drivers of quadratic growth (qgFBSDE). To illustrate the significance of qgFBSDE, we discuss a problem of cross hedging of an insurance related financial derivative using correlated assets. For the convergence of numerical approximation schemes for such systems of stochastic equations, path regularity of the solution processes is instrumental. We present a method based on the truncation of the driver, and explicitly exhibit error estimates as functions of the truncation height. We discuss a reduction method to FBSDE with globally Lipschitz continuous drivers, by using the Cole-Hopf exponential transformation. We finally illustrate our numerical approximation methods by giving simulations for prices and optimal hedges of simple insurance derivatives.

研究の動機と目的

• 二乗成長ドライバ（qgFBSDE）を有する前向き・後向き確率微分方程式（FBSDE）の堅牢な数値近似スキームの開発。これは、グローバルリプシッツ連続性の欠如により困難である。
• 数値スキームの収束を確立するため、L²-意味での制御成分のパス正則性を示す。これは誤差制御に不可欠な要件である。
• 保険デリバティブおよび最適ヘッジ戦略のシミュレーションを通じて、これらのスキームの適用可能性を示す。
• ドライバの打ち切りとCole-Hopf指数変換の2つのアプローチを比較する。両者ともqgFBSDEをグローバルリプシッツ設定に還元することを目的としている。
• 打ち切り高さの関数として明示的な誤差推定を提示し、数値シミュレーションにより手法を検証する。

提案手法

• 本稿では、二乗ドライバに対して打ち切り法を適用し、グローバルリプシッツ連続ドライバを有する近似FBSDEの系列を生成する。
• マリヤン・微積分とBMO martingale理論を用いて、L²における制御成分のパス正則性を確立する。これは収束解析に不可欠である。
• Cole-Hopf変換を適用し、ドライバの二乗成長を除去することで、構造的仮定の下でグローバルリプシッツ系に変換する。
• 変換された系は、リプシッツドライバ用に既存の数値スキームで解かれ、変換の滑らかさによりパス正則性が保持される。
• 誤差推定は、高次の多項式型の打ち切り誤差と、リプシッツスキームの既知の誤差境界を組み合わせることで導出される。
• 指数的効用最大化の下で、単純な保険デリバティブの価格設定と最適ヘッジ戦略のシミュレーションが実施される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二乗成長ドライバを有するFBSDEの数値スキームは、どのように構築され、収束が厳密に解析可能となるか？
• RQ2 制御成分のパス正則性は、qgFBSDEの数値近似における誤差推定を可能にする上で果たす役割は何か？
• RQ3 Cole-Hopf変換は、qgFBSDEをグローバルリプシッツ系に効果的に還元できるか？また、その成立にはどのような構造的仮定が必要か？
• RQ4 打ち切りに基づく数値スキームについて、打ち切り高さの関数として得られる明示的な誤差境界は何か？
• RQ5 提案手法は、保険デリバティブの価格設定やヘッジ戦略といった実用的応用において、どのように性能を発揮するか？

主な発見

• マリヤン微積分を用いて導出されたL²における制御成分のパス正則性が、qgFBSDEの数値スキームの収束速度を制御するのに十分であることが示された。
• 打ち切りに基づく手法において、解の誤差は打ち切り高さに関して高次の多項式型で減少し、収束の精密な制御が可能となる。
• 構造的仮定の下で、Cole-Hopf変換によりqgFBSDEがグローバルリプシッツ系に変換され、既存の数値スキームの適用が可能となる。
• SDEおよびその導関数の明示的なモーメント推定が得られ、解およびそのマリヤン微分がp ≥ 2についてLpで有界であることが示された。
• 解の流れのヤコビアンの逆行列がLpで有界であることが示され、微分構造の安定性が保証された。
• 数値シミュレーションにより、指数的効用最大化の下で保険デリバティブの価格設定およびヘッジ戦略において、提案手法の実用性と精度が確認された。