[論文レビュー] RESULTS ON THE SUPREMUM OF FRACTIONAL BROWNIAN MOTION

Ceren Vardar|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2011

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、自己相似性を用いて、Hurst指数 H > 1/2 を持つ反射された分数 Browm運動（fBm）の上界と、レベル1への到達時間との間の関係を確立する。第二モーメントの上界として a²ᴴ を導出し、Jensenの不等式およびMarkovの不等式を用いて鋭い尾部確率の境界を導出する。さらにガンマ分布の性質を用いた改良も行われる。金融市場への応用が議論されている。

ABSTRACT

We show that the distribution of the square of the supremum of re∞ected fractional Brownian motion up to time a, with Hurst parameterH greater than 1/2, is related to the distribution of its hitting time to level 1, using the self similarity property of fractional Brownian motion. It is also proven that the second moment of supremum of re∞ected fractional Brownian motion up to time a is bounded above by a 2H . Similar relations are obtained for the supremum of fractional Brownian motion with Hurst parameter greater than 1/2, and its hitting time to level 1. What is more, we obtain an upper bound on the complementary probability distribution of the supremum of fractional Brownian motion and re∞ected fractional Brownian motion up to time a, using Jensen’s and Markov’s inequalities. A sharper bound is observed on the distribution of the supremum of fractional Brownian motion by the properties of Gamma distribution. Finally, applications of the given results to flnancial markets are investigated, and partial results are provided.

研究の動機と目的

• H > 1/2 に対して、反射された分数 Browm運動の上界と、レベル1への到達時間との関係を調査すること。
• 時間 a までの反射 fBm の上界の第二モーメントに対する上界を導出すること。
• 標準 fBm の上界およびその到達時間分布への分析を拡張すること。
• 確率的不等式およびガンマ分布の性質を用いて、上界の尾部確率推定値を改善すること。
• これらの結果が、長-range 依存性を示す金融市場のモデル化にどのように応用できるかを検討すること。

提案手法

• 分数 Browm運動の自己相似性を活用し、上界の分布とレベル1への到達時間の分布を関連付ける。
• Jensenの不等式およびMarkovの不等式を適用して、上界の補償累積分布関数の上界を導出する。
• ガンマ分布の性質を用いて、fBm の上界の尾部確率に対するより鋭い境界を得る。
• 自己相似性およびモーメント解析を用いて、反射 fBm の上界の第二モーメントに対する上界 a²ᴴ を導出する。
• 標準 fBm および反射 fBm の両方の枠組みを拡張し、それらの上界分布および到達時間行動を比較する。
• 特に長-range 依存性およびボラティリティのモデリングに関連して、部分的な結果を用いて金融市場への影響を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 H > 1/2 に対して、反射 fBm の上界の分布は、レベル1への到達時間の分布とどのように関係しているか？
• RQ2 時間 a までの反射 fBm の上界の第二モーメントに対して、どのような上界が確立できるか？
• RQ3 ガンマ分布の性質を用いることで、fBm の上界に対するよりタイトな尾部確率の境界を導出できるか？
• RQ4 自己相似性の下で、fBm の上界および到達時間の分布はどのように関連しているか？
• RQ5 これらの結果は、長-range 依存性を示す金融市場における資産価格ダイナミクスのモデリングにどのような意味を持つのか？

主な発見

• 時間 a までの反射 fBm の上界の二乗の分布は、自己相似性を介して、レベル1への到達時間の分布と関連づけられる。
• 時間 a までの反射 fBm の上界の第二モーメントは、H > 1/2 に対して a²ᴴ で上から抑えられる。
• Markovの不等式およびJensenの不等式を用いて、上界の補償累積分布関数の上界が導出された。
• ガンマ分布の性質を活用することで、fBm の上界の尾部確率に対するより鋭い境界が得られた。
• 結果は標準 fBmに対しても拡張され、同様にその上界とレベル1への到達時間との関係が示された。
• 部分的な金融市場への応用が提示され、長記憶過程および極端な価格変動のモデリングにおいて関連性があることが示唆された。