[論文レビュー] Resummation of not summable series

Zbigniew Ambrozinski, J. Wosiek|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2012

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、弱い結合の二重井戸ポテンシャルにおける摂動級数のBorel再帰の虚数的曖昧性が、2インスタントン寄与からの対応する虚数部と正確に相殺されることを数値的証明し、長年の理論的予測を裏付けた。高精度の切断Fock空間計算とPadé近似を用いたBorel再帰により、基底状態エネルギーの加法的非摂動的構造を検証し、文献に未発表の多インスタントン展開における未知の係数を推定した。

ABSTRACT

In this paper we present results of computations for the ground energy of weakly coupled double well potential in quantum mechanics. We give a numerical evidence for cancelation of imaginary contributions to energy coming from Borel resummation and multi-instanton terms. We also estimate several higher coefficients of the multi-instanton expansion which are not given in the literature.

研究の動機と目的

• 摂動級数のBorel再帰における曖昧性が非摂動的インスタントン寄与と相殺されることの理論的予測を数値的に検証すること。
• 切断Fock空間アプローチを用いて、弱い結合の二重井戸ポテンシャルの基底状態エネルギーを高精度で計算すること。
• 文献に未発表の二インスタントン展開における高次の係数を推定すること。
• 量子力学的系における再帰摂動理論と多インスタントン寄与の加法的構造の整合性を確認すること。

提案手法

• 基底状態エネルギーの摂動係数 $\epsilon_k$ を $k=500$ までレイリー・シュレーディンガー摂動論により計算した。
• 非収束級数を扱うために、Borel変換 $B_K(t)$ を構築し、$[K/2/K/2]$ パデ近似を用いて解析接続を行った。
• 虚数軸に沿った変形された経路 $t = |t|e^{i\pi/4}$ 沿いに逆Borel変換を計算し、$\text{Re}\,t = 1.4$ で切断することで極を回避し、数値誤差を最小化した。
• ボゴモルニが導出した式を用いて、2インスタントン寄与を評価した。対数項およびオイラー定数項を含めた。
• エネルギーは、Borel再帰可能な摂動級数と2インスタントン補正の和として近似し、異なる $K$ 値における収束性をモニタリングした。
• 切断Fock空間法による高精度数値解が、解析的近似の妥当性を検証する基準として用いられた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Borel再帰による摂動級数の虚数的曖昧性が、2インスタントン寄与の虚数部と相殺されるか？
• RQ2 2インスタントン展開のBorel再帰は、エネルギー近似の収束性を向上させるか？
• RQ3 文献に未発表の二インスタントン展開における高次の係数の値は何か？
• RQ4 再帰摂動理論と2インスタントン項の和は、数値的に正確な基底状態エネルギーをどの程度よく再現するか？

主な発見

• $g = \text{Re}\,g + i0^+$ におけるBorel再帰可能な摂動エネルギーの虚数部が、2インスタントン寄与の虚数部と正確に相殺され、理論的予測が裏付けられた。
• Borel再帰可能な摂動級数の実部と2インスタントン補正の和は、$g < 0.05$ の範囲で、数値的に正確なエネルギーと高い精度で一致した。
• 著者らは、二インスタントン展開における $\epsilon_{203}$ から $\epsilon_{219}$ を推定し、不確実性は $\pm 1.6 \cdot 10^{-10}$ から $\pm 1.6 \cdot 10^3$ の範囲であった。
• 2インスタントン級数のBorel和は、$g \in (0.00016, 0.009)$ の範囲で収束性を少なくとも $10^2$ 倍改善した。
• 残存する曖昧性 $\Delta_{\mathcal{I}}^{K}(g)$ は $K$ の増加とともに減少し、$n=4$ 項の寄与が残りの曖昧性の下界をなしており、$g > 0.02$ ではほぼ飽和した。
• $g = 10^{-5}$ の場合、インスタントン補正は $\sim 10^{-14471}$ に達し、$g = 0.00016$ の場合と比較して計算精度を16倍高くする必要があった。