[論文レビュー] Resurrection of von Neumann's No-Hidden-Variables Theorem

Paul Busch|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 1999

Quantum Mechanics and Applications被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非可換な効果の和が再び効果であるような場合に、その和に関して加法的であることが要求される効果の価値割り当てが、有界自己随伴作用素上の線形汎関数に一意に拡張されることを示すことによって、フォン・ノイマンの隠れ変数定理を再活性化する。その結果、価値割り当ては量子状態に対応することになり、分散のない価値割り当ては存在できなくなる。したがって、物理的に妥当な仮定の下で、定理の核心的結論が再確立される。

ABSTRACT

Von Neumann's theorem on the impossibility of non-contextual hidden variable theories for quantum mechanics has been criticized on account of its unfounded assumption of the additivity of the valuation function for noncommuting observables. Starting from the fact that the additivity is operationally meaningful for noncommuting sets of effects whose sum is an effect, we show that any effect valuation extends to a unique linear functional on the space of bounded self-adjoint operators and hence must be a quantum state. It follows that no effect valuation can be dispersion-free.

研究の動機と目的

• 非可換観測値における加法性仮定に対する長年の批判に応じ、フォン・ノイマンの隠れ変数定理を再確立すること。
• 非可換な効果に対して、価値割り当て関数の加法性が操作的に正当化される物理的に意味のある条件を特定すること。
• このような価値割り当てが、有界自己随伴作用素上の線形汎関数に拡張され、量子状態に対応することを示すこと。
• この拡張された加法性条件の下で、いかなる効果の価値割り当ても分散のないものにはなり得ないことを証明し、定理の結論を再確立すること。

提案手法

• 非可換な効果の集合について、その和が再び効果である場合に、価値割り当て関数が加法的であると仮定する。
• 有界自己随伴作用素の代数的構造を用いて、価値割り当てを全作用素空間上の線形汎関数に拡張する。
• 関数解析的技法を適用し、このような拡張がリース表現定理を介して量子状態として表現可能であることを示す。
• 拡張された汎関数の線形性が、価値割り当てが分散のないものにはなり得ないことを示す。
• 非可換な効果を含む量子測定における操作的意味において、加法性条件が意味を持つことを確立する。
• 拡張の一意性が、価値割り当てが量子状態によって完全に決定されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 価値割り当ての加法性に関する物理的に妥当な仮定の下で、フォン・ノイマンの隠れ変数定理を再活性化できるか？
• RQ2 非可換な効果に対して、価値割り当て関数の加法性が操作的に意味を持つ条件は何か？
• RQ3 和が効果である非可換な効果の集合に対して加法性が要求される場合、価値割り当ては量子状態として表現可能になるか？
• RQ4 この拡張された加法性条件下で、いかなる効果の価値割り当ても分散のないものになり得るか？
• RQ5 有界作用素上の線形汎関数への効果の価値割り当ての拡張は一意的かつ状態に類似した性質を持つのか？

主な発見

• 和が効果である非可換な効果の集合に対して加法的であるような任意の効果の価値割り当ては、有界自己随伴作用素の空間上に一意に線形汎関数に拡張できる。
• この線形汎関数は、リース表現定理により量子状態として表現可能である。
• 拡張の一意性から、価値割り当ては量子状態によって完全に決定され、状態に類似しない価値割り当ての自由度はなくなる。
• このような価値割り当ては分散のないものにはなり得ない。なぜなら、量子状態には本質的に統計的分散が存在するからである。
• 物理的に妥当で操作的に意味のある仮定の下で、この結果によりフォン・ノイマンの元の結論が再確立される。
• 本論文は、加法性仮定が恣意的ではなく、操作的量子測定の文脈に根ざしていることを示すことにより、フォン・ノイマンの定理に対する批判を解決する。