[論文レビュー] Retractability of set theoretic solutions of the Yang-Baxter equation

Ferran Cedó, Eric Jespers+1 more|ArXiv.org|Mar 20, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、アーベル型の自己同型ヤン・バクスター（IYB）群をもつ、平方自由な集合的可換で非退化なヤン・バクスター方程式の解が、再帰的であることを確立し、ゲーテヴァ＝イヴァノヴァのこの場合における予想を裏付ける。さらに、一般化されたねじれ和集合でないが、多重置換レベル3の解を構成し、別の未解決問題の否定的ケースを解消する。

ABSTRACT

It is shown that square free set theoretic involutive non-degenerate solutions of the Yang-Baxter equation whose associated permutation group (referred to as an involutive Yang-Baxter group) is abelian are retractable in the sense of Etingof, Schedler and Soloviev. This solves a problem of Gateva-Ivanova in the case of abelian IYB groups. It also implies that the corresponding finitely presented abelian-by-finite groups (called the structure groups) are poly-${\mathbb Z}$ groups. Secondly, an example of a solution with an abelian involutive Yang-Baxter group which is not a generalized twisted union is constructed. This answers in the negative another problem of Gateva-Ivanova. The constructed solution is of multipermutation level 3. Retractability of solutions is also proved in the case where the natural generators of the IYB group are cyclic permutations. Moreover, it is shown that such solutions are generalized twisted unions.

研究の動機と目的

• アーベル型IYB群をもつ平方自由な集合的解の再帰的性に関するゲーテヴァ＝イヴァノヴァの予想を解決すること。
• すべてのアーベル型IYB群をもつ解が一般化されたねじれ和集合として表現可能かどうかを特定すること。
• 軌道分解と解集合上の群作用を用いて、このような解の構造を特徴づけること。
• IYB群の自然な生成子が巡回置換である解が強く再帰的であり、一般化されたねじれ和集合であることを証明すること。
• 再帰的である場合、関連構造群G(X,r)がポリ-ℤ群であることを確立すること。

提案手法

• 解の縮約Ret(X,r)を構成するために、σ_i = σ_j で定義される再帰関係 ∼ を用いる。
• |X| に関する帰納法を用いて、巡回IYB生成子をもつ解の強再帰的性および一般化されたねじれ和集合構造を証明する。
• 完全な巡回条件と共役の議論を用いて、G_r による同じ軌道にあるすべての l に対して σ_l = σ_j であることを示す。
• 構造群G(X,r)と半直積Fa_n ⋊ G_r の部分群との同型関係を活用する。
• G_r による作用における軌道構造と、X の部分集合への誘導された作用の分析。
• G_r がXに誘導する自然な作用を用いて、商集合X/∼ における誘導された解を定義・分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル型IYB群をもつ平方自由な集合的解は再帰的か？
• RQ2 すべてのアーベル型IYB群をもつ解は一般化されたねじれ和集合として表現可能か？
• RQ3 IYB群の自然な生成子が巡回置換である解の構造はいかなるものか？
• RQ4 多重置換レベルは解の群論的構造とどのように関係するか？
• RQ5 構造群G(X,r)がポリ-ℤ群であるための条件は何か？

主な発見

• すべてのアーベル型IYB群をもつ平方自由な集合的解は再帰的であり、ゲーテヴァ＝イヴァノヴァの予想がこの場合に裏付けられた。
• このような解の構造群G(X,r)はポリ-ℤ群である。なぜなら、アーベル型で有限生成かつ torsion-free であるからである。
• アーベル型IYB群をもつが一般化されたねじれ和集合でない、多重置換レベル3の解が明示的に構成された。
• IYB群の生成子が巡回置換である解は強く再帰的であり、一般化されたねじれ和集合である。
• 再帰的性は再帰関係 ∼ による商をとっても保たれ、帰納的証明が可能になる。
• 群G_r はXに作用し、複数の軌道を持つ。これらの軌道の構造が、解の分解可能性と再帰的性を決定づける。