[論文レビュー] Return probability and k-step measures

Nicholas Dronen, Qin Lv|arXiv (Cornell University)|May 23, 2011

Complex Network Analysis Techniques参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、無向グラフ上のランダムウォークにおける帰還確率に基づく、計算が効率的なkステップ測定であるポリア・パワー指数（PPI）を導入する。ノードの中心性は、kステップ以内にランダムウォークが元のノードに戻る確率を追跡することで計算され、O(n + m)の時間計算量を達成する—これは、ベータ中心性や部分グラフ中心性と比較して顕著に高速であり、同時にネットワーク内の影響力のあるノードを同定する能力を同等に維持する。

ABSTRACT

The notion of return probability -- explored most famously by George Pólya on d-dimensional lattices -- has potential as a measure for the analysis of networks. We present an efficient method for finding return probability distributions for connected undirected graphs. We argue that return probability has the same discriminatory power as existing k-step measures -- in particular, beta centrality (with negative beta), the graph-theoretical power index (GPI), and subgraph centrality. We compare the running time of our algorithm to beta centrality and subgraph centrality and find that it is significantly faster. When return probability is used to measure the same phenomena as beta centrality, it runs in linear time -- O(n+m), where n and m are the number of nodes and edges, respectively -- which takes much less time than either the matrix inversion or the sequence of matrix multiplications required for calculating the exact or approximate forms of beta centrality, respectively. We call this form of return probability the Pólya power index (PPI). Computing subgraph centrality requires an expensive eigendecomposition of the adjacency matrix; return probability runs in half the time of the eigendecomposition on a 2000-node network. These performance improvements are important because computationally efficient measures are necessary in order to analyze large networks.

研究の動機と目的

• 既存のkステップ中心性測定（例：ベータ中心性や部分グラフ中心性）の計算効率の良い代替策を開発すること。
• 帰還確率という確率論的測定が、ネットワーク内での影響力のあるノードを同定する上で、同等の識別能力を示すかどうかを示すこと。
• 帰還確率が線形時間で計算可能であることを示し、大規模ネットワーク解析に適していることを示すこと。
• 正規化を最小限に抑え、直感的な解釈が可能なPólya power index (PPI) を、既存の中心性測定の実用的で効率的な代替策として確立すること。

提案手法

• 無向かつ連結なグラフ上でのランダムウォークをモデル化するため、隣接行列Aから導出される確率的遷移行列Pを用いる。
• ノードiのkステップ帰還確率は、P^kの(i,i)成分として計算され、kステップ後にノードiに戻る確率を追跡する。
• k=1の場合、帰還確率は0である。k=2の場合、ノードjの近隣ノードjの1/deg(j)の和として表され、jがランダムにiを選択する確率を反映する。
• 高価な行列演算を回避するため、反復的行列-ベクトル乗算を用い、PPI（k=1,2）ではO(n + m)、より高いkではO(k × nnz_k)の時間計算量を達成する。
• Pólya power index (PPI) はk=2における帰還確率として定義され、負のβを伴う排除的パワー測定（例：ベータ中心性やGPI）と強く相関する。
• 本手法はウォーク長kの正確な制御を可能にし、値が常に[0,1]に収まるため、正規化の必要がない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 帰還確率は、既存のkステップ中心性測定（例：ベータ中心性や部分グラフ中心性）の計算効率の良い代替として機能できるか？
• RQ2 帰還確率は、ベータ中心性、GPI、部分グラフ中心性と同等の識別能力を示すか？
• RQ3 帰還確率は線形時間で計算可能であり、ネットワークサイズの増大に伴い性能がどのように変化するか？
• RQ4 Pólya power index (PPI) は、ネットワークにおける構造的排除的パワーを他の測定と比較してどのように捉えているか？

主な発見

• 2ステップ帰還確率に基づくPólya power index (PPI) は、O(n + m)の時間計算量を達成し、正確なまたは近似されたベータ中心性に必要な行列逆行列や繰り返し乗算と比較して顕著に高速である。
• 2000ノードのネットワークにおいて、帰還確率の計算は、部分グラフ中心性に必要な固有値分解の計算時間の半分で実行可能である。
• 帰還確率は、正規化が不要な確率論的測定であるにもかかわらず、ベータ中心性（負のβ）、GPI、部分グラフ中心性と同等の識別能力を示す。
• k=1およびk=2の場合、アルゴリズムの時間計算量はネットワークサイズに線形に増加し、より高いkではO(k × nnz_k)となるため、大規模ネットワークに実用的である。
• 帰還確率はウォーク長kの正確な制御を可能にし、自然に[0,1]に値を収めるため、正規化を施さずに異なるネットワーク間で直接比較可能である。