[論文レビュー] Return words in the Thue-Morse and other sequences

Ľubomíra Balková, Edita Pelantová+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2006

semigroups and automata theory参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、各因数に対して正確に $ m $ 個のリターン語を持つ無限語（$ R_m $）の性質を、複雑度関数 $ (m-1)n + 1 $ と弱双特別因数の不在とを関連付けることで特徴づける。ヴイヨンの $ R_2 $（ストゥルミアン語）に関する結果をより高い $ m $ に拡張し、$ m=3 $ の場合、これらの条件が必要かつ十分であることを示す。一方 $ m=4 $ の場合、複雑度関数は $ 3n+1 $ から逸脱しうり、実数基数のデジタル展開から得られる新しい例を提示する。

ABSTRACT

An infinite word has the property $R_m$ if every factor has exactly $m$ return words. Vuillon showed that $R_2$ characterizes Sturmian words. We prove that a word satisfies $R_m$ if its complexity function is $(m-1)n+1$ and if it contains no weak bispecial factor. These conditions are necessary for $m=3$, whereas for $m=4$ the complexity function need not be $3n+1$. New examples of words satisfying $R_m$ are given by words related to digital expansions in real bases.

研究の動機と目的

• すべての因数が正確に $ m $ 個のリターン語を持つ無限語の特徴づけ（$ R_m $ 性質）
• ヴイヨンによる $ R_2 $（ストゥルミアン語）の特徴づけをより高い $ m $ に拡張すること
• 複雑度関数 $ (m-1)n + 1 $ と弱双特別因数の不在が、$ R_m $ に対して必要かつ十分な条件かどうかを特定すること
• 実基数におけるデジタル展開（例：ベータ展開）を用いて、新しい $ R_m $-語の構成

提案手法

• 因数ごとのリターン語の数を分析することで、無限語のリターン語構造を検討
• 複雑度関数 $ C(n) = (m-1)n + 1 $ を $ R_m $-語の主要制約として用いる
• リターン語性質を破壊する可能性がある弱双特別因数を特定・除外
• 因子構造に関する組合せ論的技法を用いて $ R_m $ 条件の妥当性を検証
• ベータ展開などから得られる実基数におけるデジタル展開を応用し、新しい $ R_m $-語を構成
• $ m=3 $ と $ m=4 $ における $ R_m $ の挙動を比較し、$ m=4 $ の場合、複雑度関数 $ 3n+1 $ が必須でないことを示す

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限語が $ R_m $ を満たすために必要な十分な条件として、複雑度と因子構造にどのような制約が課されるか？
• RQ2 ストゥルミアン語の $ R_2 $ 特徴づけは、$ m > 2 $ の $ R_m $ にどのように拡張可能か？
• RQ3 複雑度関数 $ (m-1)n + 1 $ は $ R_m $-語に対して必須であるか、特に $ m=4 $ の場合にそうか？
• RQ4 実基数におけるデジタル展開は、新しい $ R_m $-語の生成に利用可能か？
• RQ5 弱双特別因数は $ R_m $ 性質の破壊または維持にどのような役割を果たすか？

主な発見

• $ m=3 $ の場合、複雑度関数 $ 2n+1 $ と弱双特別因数の不在は、$ R_3 $ を満たす語であるための必要十分条件である。
• $ m=4 $ の場合、複雑度関数は $ 3n+1 $ でなくてもよく、$ R_4 $-語は従来の予想よりも高い複雑度を示す可能性がある。
• 本稿では、ベータ展開などから得られる実基数におけるデジタル展開を用いて、新しい $ R_m $-語の例を構成した。
• 弱双特別因数の不在は、$ R_m $ 性質が成立するための重要な条件である。
• 複雑度と因子構造による $ R_m $-語の特徴づけは、ヴイヨンの $ R_2 $ 結果をストゥルミアン語を超えて一般化する。
• 特に複雑度制約の適用方法に差が生じるため、$ m=3 $ と $ m=4 $ の $ R_m $-語には構造的差が存在することが明らかになった。