[論文レビュー] Revêtements cycliques qui ne sont pas stablement rationnels

Colliot-Thélène, Jean-Louis, Alena Pirutka|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2015

French Urban and Social Studies参考文献 2被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、複素射影空間 ℙⁿ (n ≥ 3) のある種の素数 p の巡回被覆が、非常に一般な超曲面（次数 mp）上に分岐する場合に、n+1 ≤ mp かつ m(p−1) < n+1 ≤ mp を満たすとき、安定有理でないことを証明している。正標数における特化技術とゼロサイクルのチャウ群を用いて、特に二重被覆（四次曲面や六次曲面に分岐する ℙ³ 上）や数体上でも成立する、広範なファノ多様体の非安定有理性を確立している。

ABSTRACT

En appliquant des méthodes développées par Kollár, Voisin, nous-mêmes, Totaro, nous montrons qu'un revêtement cyclique de $\mathbb P_{\mathbb C}^n, n\geq 3$ de degré premier $p$, ramifié le long d'une hypersurface très générale de degré $mp$ n'est pas stablement rationnel si $m(p-1)

研究の動機と目的

• 複素数体上での ℙⁿ (n ≥ 3) の広範な巡回被覆の非安定有理性を確立すること。
• Kollár や Voisin、Totaro の手法を拡張し、CH₀-普遍的自明性を用いて非安定有理性を証明すること。
• 具体的な非安定有理なファノ多様体の例（数体上を含む）を構成すること。
• Voisin の四次曲面に分岐する ℙ³ 上の二重被覆や、Beauville の六次曲面に分岐するものの一般化を図ること。
• 研究対象の状況において、CH₀-普遍的自明性の失敗が非安定有理性を示すこと。

提案手法

• 標数 p > 0 の離散付値環上での CH₀-普遍的自明性の特化法を適応すること。
• Kollár および Totaro の正標数における安定有理性に関する結果を、巡回被覆に適用すること。
• 多様体が CH₀-普遍的に自明であれば、安定有理である。逆に、その自明性が失敗すれば、非安定有理であることを示す基準を用いること。
• 有限体 𝔽_q 上の滑らかく還元可能なモデルを構成し、特化により数体上に持ち上げること。
• 被覆が安定有理でないことを保証するため、条件 m(p−1) < n+1 ≤ mp を用いること。
• 特異点の解消理論と、族におけるゼロサイクルの特化理論を応用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 素数 p の巡回被覆（ℙⁿ の、非常に一般な超曲面（次数 mp）に分岐）が、どのような条件下で安定有理でないか？
• RQ2 CH₀-普遍的自明な特化法を、二重被覆を超えて、より一般の巡回被覆へ拡張可能か？
• RQ3 巡回被覆の非安定有理性の結果は、複素数体に限らず、数体上でも成り立つか？
• RQ4 不等式 m(p−1) < n+1 ≤ mp は、ファノ多様体における安定有理性の失敗とどのように関係しているか？
• RQ5 Voisin や Totaro の手法を、三重被覆（例：ℙ⁴ の三重被覆）のような高次巡回被覆へ一般化可能か？

主な発見

• 素数 p の巡回被覆（ℙⁿ (n ≥ 3) 上、非常に一般な超曲面（次数 mp）に分岐）は、m(p−1) < n+1 ≤ mp を満たすとき、安定有理でない。
• この結果は、四次曲面（次数 4）に分岐する ℙ³ 上の二重被覆を含み、Voisin の結果を回復する。
• 同様に、六次曲面（次数 6）に分岐する ℙ³ 上の二重被覆も含み、Beauville の結果を回復する。
• この手法により、複素数体に限らず、数体上でも非安定有理なファノ多様体の例が得られる。
• p=3, n=4, mp=6 の場合、本稿では ℙ⁴ の三重被覆として非安定有理なファノ 4 次元多様体を構成している。
• 特別なファイバーにおける CH₀-普遍的自明性の失敗は、数体上での一般ファイバーの非安定有理性を示す。