[論文レビュー] Revêtements du demi-plan de Drinfeld et correspondance de Langlands p-adique

Gabriel Dospinescu, Arthur-César Le Bras|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 37被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}_p/\mathbf{Q}_p)$ の特定の2次元 de Rham表現に対して、$p$-進局所Langlands対応の幾何的実現を、$\mathrm{GL}_2(\mathbf{Q}_p)$ のDrinfeldの$p$-進上半平面のエタール被覆のde Rhamコホモロジーを計算することによって与える。この結果、BreuilとStrauchが提唱した予想を確認し、これらの被覆のコホモロジーを通じて$p$-進自己形式と$p$-進ガロア表現を結びつける。

ABSTRACT

We describe the de Rham complex of the étale coverings of Drinfeld's p-adic upper half-plane for GL_2(Q_p). Conjectured by Breuil and Strauch, this description gives a geometric realization of the p-adic local Langlands correspondence for certain two-dimensional de Rham representations of the absolute Galois group of Q_p.

研究の動機と目的

• 特定の2次元 de Rham ガロア表現に対する $p$-進局所Langlands対応の幾何的実現を提供すること。
• BreuilとStrauchが予想したように、$\mathrm{GL}_2(\mathbf{Q}_p)$ のDrinfeldの$p$-進上半平面のエタール被覆のde Rhamコホモロジーを計算すること。
• Drinfeldの上半平面のコホモロジーを通じて、$p$-進自己形式と$p$-進ガロア表現を結びつけること。
• $p$-進ホッジ理論および $(\varphi,\Gamma)$-加群の枠組みを、$p$-進自己形式の文脈に拡張すること。

提案手法

• Drinfeldの上半平面の$p$-進均質化を用いて、そのコホモロジーと自己表現を関連付ける。
• Emertonによる$p$-進設定における局所的・大域的Langlands対応の整合性を応用する。
• Kirillovモデルと双対性を介して、被覆のコホモロジーと表現空間の間の $G$--equivariantな準同型を構成する。
• Robba環上の $(\varphi,\Gamma)$-加群を用いて、コホモロジーとガロア表現を関連付ける。
• コホモロジー対応における主要な準同型 $\Phi$ の全射性を示すために関数解析的技法を用いる。
• 局所解析的ベクトルおよび $P$-有限ベクトルの分析を通じて、表現の双対を構成し、それをコホモロジーと関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Drinfeldの$p$-進上半平面のエタール被覆のde Rhamコホモロジーは、$\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}_p/\mathbf{Q}_p)$ のde Rham表現に対して、どのように$p$-進局所Langlands対応を実現するか？
• RQ2 これらの被覆のコホモロジーに実現される $\mathrm{GL}_2(\mathbf{Q}_p)$-表現の正確な構造は何か？
• RQ3 Drinfeldの上半平面のコホモロジーは、de Rhamガロア表現に対応する $(\varphi,\Gamma)$-加群とどのように関係するか？
• RQ4 BreuilとStrauchが予想したように、Drinfeldのタワーのコホモロジーを介して$p$-進局所Langlands対応を幾何的に実現できるか？
• RQ5 局所解析的ベクトルおよびKirillovモデルは、コホモロジーと $\mathrm{GL}_2(\mathbf{Q}_p)$ の表現論を結びつける際に果たす役割は何か？

主な発見

• Drinfeldの上半平面の $n$-重被覆 $\Sigma_n$ のde Rhamコホモロジーが計算され、それが $p$-進局所Langlands対応と整合的であることが示された。
• 第1コホモロジー群 $H^1_{\mathrm{dR,c}}(\Sigma_n)$ は、$G$-作用に関して、de Rhamガロア表現 $\rho$ の $p$-進局所Langlands上昇 $\Pi(\pi,0)$ と同型であることが示された。
• コホモロジーから表現空間への準同型 $\Phi$ が全射であることが示され、対応の幾何的実現が確認された。
• Kirillovモデルを介して、被覆のコホモロジーと $p$-進ガロア表現の局所解析的双対との間の $G$--equivariantな同型が構成された。
• 本稿はBreuil-Strauch予想を確認した：被覆のde Rham複体は、非三角化可能なde Rham表現に対する $p$-進局所Langlands対応を実現する。
• この結果は、Carayolの非アーベル的Lubin-Tate理論の $p$-進類似を提供し、古典的な幾何的実現を $p$-進設定に拡張する。