[論文レビュー] Revan-degree indices on random graphs

R. Aguilar-Sanchez, I. F. Herrera-González+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2022

Graph theory and applications被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ランダムグラフにおけるレヴァン次数に基づくトポロジカルおよび乗法的トポロジカルインデックスを導入・分析し、$RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)$ および $RX_{\rm \textstyle \Pi}(G)$ を新たに提案する。レヴァン次数 $r_u = \Delta + \delta - d_u$ を用いる。正規化された $\langle RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)\rangle /n$ および $\langle \ln RX_{\rm \textstyle \Pi}(G)\rangle /n$ が平均レヴァン次数 $\langle r\rangle$ に従ってスケーリングすることを示し、密度の高いグラフの極限において解析的表現を導出。低 $\langle r\rangle$ 時に標準的次数に基づくインデックスとは顕著な相違を示すことが明らかになった。

ABSTRACT

Given a simple connected non-directed graph $G=(V(G),E(G))$, we consider two families of graph invariants: $RX_Σ(G) = \sum_{uv \in E(G)} F(r_u,r_v)$ (which has gained interest recently) and $RX_Π(G) = \prod_{uv \in E(G)} F(r_u,r_v)$ (that we introduce in this work); where $uv$ denotes the edge of $G$ connecting the vertices $u$ and $v$, $r_u$ is the Revan degree of the vertex $u$, and $F$ is a function of the Revan vertex degrees. Here, $r_u = Δ+ δ- d_u$ with $Δ$ and $δ$ the maximum and minimum degrees among the vertices of $G$ and $d_u$ is the degree of the vertex $u$. Particularly, we apply both $RX_Σ(G)$ and R$X_Π(G)$ on two models of random graphs: Erdös-Rényi graphs and random geometric graphs. By a thorough computational study we show that $\left< RX_Σ(G) ight>$ and $\left< \ln RX_Π(G) ight>$, normalized to the order of the graph, scale with the average Revan degree $\left< r ight>$; here $\left< \cdot ight>$ denotes the average over an ensemble of random graphs. Moreover, we provide analytical expressions for several graph invariants of both families in the dense graph limit.

研究の動機と目的

• ランダムグラフアンサンブルにおけるレヴァン次数に基づくトポロジカルインデックス（TIs）および乗法的トポロジカルインデックス（MTIs）の研究を動機づける。
• 特にその乗法的対応物に関して、体系的な統計的分析が不足している点を補う。
• $\langle RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)\rangle /n$ および $\langle \ln RX_{\rm \textstyle \Pi}(G)\rangle /n$ が平均レヴァン次数 $\langle r\rangle$ の関数としてどのようにスケーリングするかを確立する。
• 密度の高いグラフの極限におけるこれらのインデックスの解析的表現を提供する。
• 標準的次数に基づくインデックスとは異なる情報を提供するレヴァン次数インデックスの有用性を強調する。

提案手法

• レヴァン次数を $r_u = \Delta + \delta - d_u$ として定義する。ここで $\Delta$ および $\delta$ はグラフ内の最大および最小次数を表す。
• 2つの新しいグラフ不変量の族を導入する：$RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G) = \sum_{uv \in E(G)} F(r_u, r_v)$ および $RX_{\rm \textstyle \Pi}(G) = \prod_{uv \in E(G)} F(r_u, r_v)$。ここで $F$ はレヴァン次数の対称関数である。
• 2つのランダムグラフモデルにこれらのインデックスを適用する：エッジ・リャン・エアーズ（ER）グラフ $G_{\rm \textstyle ER}(n,p)$ およびランダム幾何（RG）グラフ $G_{\rm \textstyle RG}(n,\ell)$。
• 固定パラメータを持つ多数のグラフアンサンブルに対して、$\langle RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)\rangle$ および $\langle \ln RX_{\rm \textstyle \Pi}(G)\rangle$ のアンサンブル平均を計算する。
• 数値シミュレーションを用いて、$\langle r\rangle$ の関数としての正規化インデックス $\langle RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)\rangle /n$ および $\langle \ln RX_{\rm \textstyle \Pi}(G)\rangle /n$ のスケーリング行動を調査する。
• 密度の高いグラフの極限（$\langle r\rangle \geq 10$）において、漸近的解析を用いて $\langle RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)\rangle$ および $\langle \ln RX_{\rm \textstyle \Pi}(G)\rangle$ の解析的表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムグラフにおいて、レヴァン次数に基づくトポロジカルインデックス $RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)$ は平均レヴァン次数 $\langle r\rangle$ に対してどのようにスケーリングするか？
• RQ2 新たに導入されたレヴァン次数に基づく乗法的トポロジカルインデックス $RX_{\rm \textstyle \Pi}(G)$ は、ランダムグラフにおいてどのような統計的挙動を示すか？
• RQ3 $\langle RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)\rangle /n$ および $\langle \ln RX_{\rm \textstyle \Pi}(G)\rangle /n$ の正規化平均は、異なるランダムグラフモデル間で $\langle r\rangle$ に従って普遍的なスケーリングを示すか？
• RQ4 密度の高いグラフの極限において、$\langle RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)\rangle$ および $\langle \ln RX_{\rm \textstyle \Pi}(G)\rangle$ を記述する解析的表現は何か？
• RQ5 標準的次数に基づくインデックスとは異なる情報を提供するレヴァン次数インデックスが有効な領域は存在するか？

主な発見

• 正規化平均 $\langle RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)\rangle /n$ は平均レヴァン次数 $\langle r\rangle$ に従ってスケーリングし、図3および図6に示すように、普遍的な関数的依存性 $g_{\Sigma}(\langle r\rangle)$ を示す。
• 正規化平均 $\langle \ln RX_{\rm \textstyle \Pi}(G)\rangle /n$ も $\langle r\rangle$ に従って $g_{\Pi}(\langle r\rangle)$ のようにスケーリングし、密度の高い極限（$\langle r\rangle \geq 10$）において、数値データと解析的予測の間で極めて良好な一致が得られている（図9および図10を参照）。
• 密度の高いグラフの極限における $\langle RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)\rangle$ および $\langle \ln RX_{\rm \textstyle \Pi}(G)\rangle$ の解析的表現は、それぞれ式（8）〜（11）および（17）〜（20）として導出された。
• 密度の高いグラフの極限において、$\langle r(G)\rangle \approx \langle d(G)\rangle$ および $\langle RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)\rangle \approx \langle X_{\rm \textstyle \Sigma}(G)\rangle$ となるため、レヴァン次数インデックスのスケーリング則は標準的次数に基づくインデックスのそれらを再現する。
• $\langle r\rangle < 10$ の場合に、レヴァン次数インデックスと次数に基づくインデックスとの間に顕著な差が生じる。これは、スパarsesまたは中程度に密集したグラフにおいて、レヴァン次数インデックスが補完的情報を提供できることを示唆する。
• 本研究では、2つの新しいインデックス、乗法的フォーゲットインデックス $F_{\Pi}(G)$ および乗法的ソモボルインデックス $SO_{\Pi}(G)$ を導入・分析し、レヴァン次数に基づくMTIの族を拡張した。