[論文レビュー] Revenue Gaps for Static and Dynamic Posted Pricing of Homogeneous Goods

Paul Dütting, Felix Fischer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2016

Auction Theory and Applications参考文献 44被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、k 種類の同種の商品を n 人の単位需要型バイヤーに販売する際、動的価格設定ではなく静的価格設定を使用した場合の収益損失を分析している。同分布に従う評価価値を前提とし、収益ギャップのタイトな上界を確立している：一般分布では 2−k/n、正規分布では約 1/(1−1/√(2πk)) であり、非正規分布の場合は動的価格設定が静的価格設定の2倍の収益を達成できることが示されている。

ABSTRACT

We consider the problem of maximizing the expected revenue from selling $k$ homogeneous goods to $n$ unit-demand buyers who arrive sequentially with independent and identically distributed valuations. In this setting the optimal posted prices are dynamic in the sense that they depend on the remaining numbers of goods and buyers. We investigate how much revenue is lost when a single static price is used instead for all buyers and goods, and prove upper bounds on the ratio between the maximum revenue from dynamic prices and that from static prices. These bounds are tight for all values of $k$ and $n$ and vary depending on a regularity property of the underlying distribution. For general distributions we obtain a ratio of $2-k/n$, for regular distributions a ratio that increases in $n$ and is bounded from above by $1/(1-k^k/(e^{k}k!))$, which is roughly $1/(1-1/(\sqrt{2πk}))$. The lower bounds hold for the revenue gap between dynamic and static prices. The upper bounds are obtained via an ex-ante relaxation of the revenue maximization problem, as a consequence the tight bounds of $2-k/n$ in the general case and of $1/(1-1/(\sqrt{2πk}))$ in the regular case apply also to the potentially larger revenue gap between the optimal incentive-compatible mechanism and the optimal static price. Our results imply that for regular distributions the benefit of dynamic prices vanishes while for non-regular distributions dynamic prices may achieve up to twice the revenue of static prices.

研究の動機と目的

• k 種類の同種の商品と n 人の単位需要型バイヤーを想定した逐次的販売設定において、静的価格を使用した場合の動的価格との収益損失を定量化すること。
• 基礎となる評価価値分布の正規性にどのように収益ギャップが依存するかを調査すること。
• すべての k と n に対して、最適動的収益と最適静的収益の比のタイトな上界を確立すること。
• 事前緩和技術を用いることで、導出された上界が最適インcentive-compatibleメカニズムと静的価格のギャップに対しても適用可能であることを示すこと。
• 動的価格設定の実務的意味、特に収益向上と顧客の公平性への懸念の両者を検討すること。

提案手法

• i.i.d. 評価価値と k 個の同一商品を想定した収益最大化問題を形式化し、逐次的なバイヤーの到着を考慮する。
• 収益最大化問題の事前緩和を用いて、動的価格と静的価格の収益比の上界を導出する。
• ベルシュタイン多項式近似を用いて、極端な評価価値を持つ離散分布における収益の挙動を分析する。
• ε→0 の極限において、上界のタイトさを示すために、1 および kn/ε に質量点を持つ特定の離散分布を構築する。
• 集中不等式と尾確率の上界を用いて、動的価格戦略における期待収益を評価する。
• 二項分布の性質と凹関数近似を活用し、すべての n≥⌈1/α⌉ に対して上界が成り立つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k 種類の同種の商品と n 人のバイヤーに対して、最適動的価格設定収益と最適静的価格設定収益との間で、最大でどの程度の比が達成可能か？
• RQ2 この収益ギャップは、基礎となる評価価値分布の正規性にどのように依存するか？
• RQ3 収益ギャップの上界は、最適インcentive-compatibleメカニズムと静的価格の比較に対しても拡張可能か？
• RQ4 k が大きくなるに従って、収益ギャップの漸近的挙動はどのように変化するか。特に、正規分布と非正規分布の間で違いは何か？
• RQ5 導出された上界はどれほどタイトか。また、明示的な構築によって実際の状況で達成可能か？

主な発見

• 一般分布の場合、動的価格と静的価格の収益ギャップは最大で 2−k/n であり、この上界はすべての k と n に対してタイトである。
• 正規分布の場合、収益ギャップは 1/(1−1/√(2πk)) で上界が与えられ、k が増加するにつれて漸近的に 1 に収束する。
• 上記の上界 1/(1−1/√(2πk)) はタイトであり、動的価格 vs. 静的価格のギャップに限らず、最適インcentive-compatibleメカニズムと静的価格のギャップに対しても適用可能である。
• 非正規分布の場合は、極端な評価価値点を用いた極限的構築により、動的価格設定が静的価格設定の2倍の収益を達成できることを示している。
• 正規分布では収益ギャップが漸近的に消えるため、このような設定では動的価格設定の利点が次第に小さくなる。
• 分析により、評価価値分布が非正規である場合に収益ギャップが最大になると確認されており、これは価格戦略設計における分布の仮定の重要性を強調している。