[論文レビュー] Reversed Dickson polynomials of the fourth kind over finite fields

Kaimin Cheng, Shaofang Hong+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限体 $ \bbF_q $ 上での第4種反転ドゥルーブ多項式 $ D_{n,3}(1,x) $ の置換的性質を調査する。生成関数と係数解析を用いて、最初のモーメント $ \textstyle\bigsum_{a \in \bbF_q} D_{n,3}(1,a) $ の明示的公式を導出し、特性 $ p > 3 $ における置換多項式の性質を研究するための重要な計算的道具を提供する。

ABSTRACT

In this paper, we obtain several results on the permutational behavior of the reversed Dickson polynomial $D_{n,3}(1,x)$ of the fourth kind over the finite field ${\mathbb F}_{q}$. Particularly, we present the explicit evaluation of the first moment $\sum_{a\in {\mathbb F}_{q}}D_{n,3}(1,a)$.

研究の動機と目的

• 有限体 $ \bbF_q $ 上での第4種反転ドゥルーブ多項式 $ D_{n,3}(1,x) $ の置換的性質を研究すること。
• 置換多項式の基準に不可欠な不変量である最初のモーメント $ \textstyle\bigsum_{a \in \bbF_q} D_{n,3}(1,a) $ の明示的公式を導出すること。
• 補助多項式と生成関数を用いて、$ D_{n,3}(1,x) $ が置換多項式であることを特徴付けること。
• この新しいクラスの反転ドゥルーブ多項式に対して、ヘルメート基準の枠組みを、最初のモーメントを明示的に計算することによって拡張すること。

提案手法

• 第4種反転ドゥルーブ多項式を、$ n \to 1 $ に対して $ D_{n,3}(a,x) = \textstyle\bigsum_{i=0}^{\fl{n/2}} \frac{n-3i}{n-i} \binom{n-i}{i} (-x)^i a^{n-2i} $ で定義する。$ D_{0,3}(a,x) = -1 $ とする。
• 恒等式 $ D_{n,3}(a,x) = \frac{(2a-y)y^n - (y+a)(a-y)^n}{2y-a} $ を用い、$ x = y(a-y) $ とすることで、多項式を $ y $ に関する有理関数として表現する。
• 最初のモーメントを解析するため、生成関数 $ G(t) = \textstyle\bigsum_{n=1}^{q^2-1} \big( a_n - \frac{3n-1}{2^n} \big) t^n $ を構成する。ここで $ a_n = \textstyle\bigsum_{a \in \bbF_q} D_{n,3}(1,a) $ である。
• 生成関数の構造をモデル化するため、$ t^{q^2-1} $、$ t^q $、および二項係数を含む有理関数 $ h(t) $ の式を導出する。
• $ (t - t^q)^{q-1} $ に二項定理を適用し、多項式 $ \textstyle\bigsum_{i=0}^{q^2-q} b_i t^i = -1 - (t - t^q)^{q-1} $ の係数 $ b_i $ を計算する。
• 方程式 $ (t^q - t^{q-1} - 1) \textstyle\bigsum_{n=1}^{q^2-1} d_n t^n = \text{RHS} $ における係数比較を用い、$ d_n = a_n - \frac{3n-1}{2^n} $ として、$ a_n $ を再帰的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反転ドゥルーブ多項式の第4種について、最初のモーメント $ \textstyle\bigsum_{a \in \bbF_q} D_{n,3}(1,a) $ の明示的値は何か？
• RQ2 $ D_{n,3}(1,x) $ が有限体 $ \bbF_q $ 上で置換多項式であるための条件は何か？ そして、代数的にどのように特徴付けられるか？
• RQ3 直接評価が困難な場合、生成関数のアプローチが最初のモーメントの計算をどのように可能にするか？
• RQ4 有理関数展開の係数 $ c_i $ は、モーメント和の再構成においてどのような役割を果たすか？
• RQ5 モーメント和の再帰的構造は、$ c_i $ と $ d_n $ を用いた導出された再帰関係によって完全に捉えられるか？

主な発見

• 最初のモーメント $ \textstyle\bigsum_{a \in \bbF_q} D_{n,3}(1,a) $ は、$ 1 \leq j \leq q-1 $ に対して、$ -c_j + \frac{3j-1}{2^j} $ として明示的に計算される。ここで $ c_j $ は有理関数展開における $ t^j $ の係数である。
• $ n = q $ の場合、モーメントは $ c_1 - c_q - \frac{1}{2} $ となる。これは、体の特性に起因する影響により、単純な $ \frac{3n-1}{2^n} $ のパターンからの逸脱を示している。
• $ n = \text{multiple of } q $ の場合、モーメントは再帰的関係 $ \textstyle\bigsum D_{\nu q,3}(1,a) = \textstyle\bigsum D_{(\nu-1)q,3}(1,a) - \textstyle\bigsum D_{(\nu-1)q+1,3}(1,a) - c_{\nu q} + \frac{3}{2^\nu} $ を満たす。これは $ 2 \leq \nu \leq q-2 $ に対して有効である。
• $ n = q^2 - q + j $ かつ $ 0 \leq j \leq q-1 $ の場合、モーメントは $ \textstyle\bigsum_{i=j}^{q-1} c_{q^2+i} + \frac{3j-1}{2^j} $ となる。これは、体のサイズに近い領域での性質の変化を示している。
• $ -1 - (t - t^q)^{q-1} $ の展開における係数 $ b_i $ は、$ \beta + \beta = q-1 $ ならば $ (-1)^{\beta+1} \binom{q-1}{\beta} $、$ \beta = \beta = 0 $ ならば $ -1 $、それ以外は 0 として明示的に与えられる。
• 再帰的関係を用いた $ c_i $、$ d_n $、および $ a_n = d_n + \frac{3n-1}{2^n} $ の組み合わせにより、全モーメント和 $ \textstyle\bigsum_{a \in \bbF_q} D_{n,3}(1,a) $ が再構成可能であり、完全なアルゴリズム的評価が可能である。