[論文レビュー] Reversed Dickson Polynomials of the Third Kind

Neranga Fernando|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$ q = p^e $ で $ p $ が素数である有限体 $ \mathbb{F}_q $ 上で、第3種反転ディクソン多項式 $ D_{n,2}(1,x) $ を考察する。この多項式が置換多項式であるための必要条件を確立し、関数方程式と母関数を用いて、$ \sum_{a \in \mathbb{F}_q} D_{n,2}(1,a) $ の明示的評価を提示。多項式の次数に応じた再帰的公式を導出する。

ABSTRACT

Let $p$ be a prime and $q=p^e$. We discuss the properties of the reversed Dickson polynomial $D_{n,2}(1,x)$ of the third kind. We also give several necessary conditions for the reversed Dickson polynomial of the third kind $D_{n,2}(1,x)$ to be a permutation of $\mathbb{F}_{q}$. In particular, we give explicit evaluation of the sum $\sum_{a\in \mathbb{F}_q}D_{n,2}(1,a)$.

研究の動機と目的

• 有限体 $ \mathbb{F}_q $ 上での第3種反転ディクソン多項式 $ D_{n,2}(1,x) $ の置換性を分析すること。
• $ D_{n,2}(1,x) $ が $ \mathbb{F}_q $ 上で置換多項式であるための必要条件を確立すること。
• 母関数と関数的恒等式を用いて、すべての $ n $ に対して $ \sum_{a \in \mathbb{F}_q} D_{n,2}(1,a) $ を明示的に計算すること。
• これらの多項式の構造と既知の数列およびヤコブスタル多項式との関連を明らかにし、代数的解釈を強化すること。

提案手法

• 変数変換 $ x = y + y^{-1} $ を用いて、$ F_n(1,x) = D_{n,2}(1,x) $ の関数方程式を導出。これにより $ \mathbb{F}_{q^2} $ 内の根と関連付ける。
• 恒等式 $ F_n(a,x) = a^n F_n(1, x/a^2) $ を用いて、$ F_n(a,x) $ の研究を $ F_n(1,x) $ に還元。これにより解析を簡略化。
• 母関数とべき級数展開を用いて、和 $ \sum_{a \in \mathbb{F}_q} F_n(1,a) $ をモデル化。有理関数展開における係数を用いて表現。
• べき級数における係数の再帰的比較を用いて、さまざまな次数における和の閉形式表現を導出。
• [2] で得られた第2種反転ディクソン多項式に関する既知の結果を応用し、和の再帰的関係を構築。
• 生成関数のモデルとして、$ (z - z^q)^{q-1} $ から導かれる有理関数 $ h(z) $ の構造に依存。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体 $ \mathbb{F}_q $ 上で、第3種反転ディクソン多項式 $ D_{n,2}(1,x) $ が置換多項式であるための条件は何か？
• RQ2 すべての $ n $ に対して、和 $ \sum_{a \in \mathbb{F}_q} D_{n,2}(1,a) $ の明示的値は何か？
• RQ3 $ D_{n,2}(1,x) $ の関数方程式は、ディクソン多項式およびチェビシェフ多項式のそれらとどのように関連するか？
• RQ4 $ D_{n,2}(1,x) $ とヤコブスタル多項式、または A010892 や A128834 のような整数列との間にどのような関係があるか？

主な発見

• 和 $ \sum_{a \in \mathbb{F}_q} D_{n,2}(1,a) $ は、生成関数の係数に基づく再帰的公式を用いて明示的に評価された。
• $ 1 \leq j \leq q-1 $ のとき、和は $ \sum_{a \in \mathbb{F}_q} D_{j,2}(1,a) = -c_j + \frac{j}{2^{j-1}} $ を満たす。ここで $ c_j $ は有理関数展開からの係数である。
• $ n = q $ のとき、和は $ \sum_{a \in \mathbb{F}_q} D_{q,2}(1,a) = c_1 - c_q $ である。ここで $ c_k $ は生成関数から導かれる。
• $ n = lq + j $ で $ 1 \leq l \leq q-2 $ かつ $ 1 \leq j \leq q-1 $ のとき、和は $ c_{lq+j} $ と以前の和の値を含む再帰的関係を満たす。
• $ n = q^2 - q + j $ のとき、和は $ \sum_{i=j}^{q-1} c_{q^2 + i} + \frac{j}{2^{q^2 - q + j - 1}} $ で与えられ、高次の係数に依存することが示された。
• 評価 $ D_{n,2}(1, \frac{1}{4}) = \frac{n}{2^{n-1}} $ が確認され、多項式が既知の有理数列と関連していることが示された。