[論文レビュー] Reversibility and further properties of FCFS infinite bipartite matching

Ivo Adan, Ana Bušić+2 more|TU/e Research Portal (Eindhoven University of Technology)|Jul 21, 2015

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、FCFS無限二部マッチングモデルにおける動的可逆性を確立し、時間反転された系列においてマッチングペアを入れ替えることで、i.i.d.分布とFCFSマッチングが保たれることを証明する。両側無限系列に対してパスワイズ・ルインズ型構成を導入し、複数のマルコフ連鎖の積型定常分布を導出し、マッチングされたアイテム間のリンク長といった性能指標の正確な計算を可能にする。

ABSTRACT

The model of FCFS infinite bipartite matching was introduced in caldentey-kaplan-weiss 2009. In this model there is a sequence of items that are chosen i.i.d. from $\mathcal{C}=\{c_1,\ldots,c_I\}$ and an independent sequence of items that are chosen i.i.d. from $\mathcal{S}=\{s_1,\ldots,s_J\}$, and a bipartite compatibility graph $G$ between $\mathcal{C}$ and $\mathcal{S}$. Items of the two sequences are matched according to the compatibility graph, and the matching is FCFS, each item in the one sequence is matched to the earliest compatible unmatched item in the other sequence. In adan-weiss 2011 a Markov chain associated with the matching was analyzed, a condition for stability was verified, a product form stationary distribution was derived and the rates $r_{c_i,s_j}$ of matches between compatible types $c_i$ and $s_j$ were calculated. In the current paper, we present several new results that unveil the fundamental structure of the model. First, we provide a pathwise Loynes' type construction which enables to prove the existence of a unique matching for the model defined over all the integers. Second, we prove that the model is dynamically reversible: we define an exchange transformation in which we interchange the positions of each matched pair, and show that the items in the resulting permuted sequences are again independent and i.i.d., and the matching between them is FCFS in reversed time. Third, we obtain product form stationary distributions of several new Markov chains associated with the model. As a by product, we compute useful performance measures, for instance the link lengths between matched items.

研究の動機と目的

• 時間領域 T = ℤ における無限二部マッチングモデルに対して、一意的なFCFSマッチングの存在を確立すること。
• マッチングペアを入れ替える交換変換のもとで、FCFSマッチングプロセスが動的可逆であることを証明すること。
• マッチングプロセスに関連する複数のマルコフ連鎖の積型定常分布を導出すること。
• マッチングされたアイテム間のリンク長といった正確な性能指標を、導出された定常分布を用いて計算すること。

提案手法

• T = ℤ 上でFCFSマッチングを一意に定義するため、両端から中心に向かってマッチングを構築するパスワイズ・ルインズ型構成が開発された。
• 時間反転においてマッチングペア (c^m, s^n) を (s^n, c^m) に交換する変換が定義され、系列のi.i.d.性質が保たれる。
• 時間反転後のプロセスがFCFSのままであり、系列が同じ周辺分布を持つことから、動的可逆性が証明された。
• バランス方程式と詳細バランス条件を用いて、未マッチングアイテムの状態に関連する複数のマルコフ連鎖の積型定常分布が導出された。
• 適合グラフの構造とFCFSマッチングルールを活用し、未マッチングアイテムとマッチングペアの同時分布を特徴づけた。
• リンク長の分布は、時間反転されたプロセスにおけるマッチングアイテム間の間隔を分析することで、副次的に計算された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間領域が両側無限（T = ℤ）である場合、無限二部マッチングモデルに対して一意的なFCFSマッチングが存在するか？
• RQ2 時間反転においてマッチングペアを入れ替える変換のもとで、FCFSマッチングプロセスは動的可逆か？
• RQ3 未マッチングアイテムを追跡するマルコフ連鎖に対して、積型定常分布を導出できるか？
• RQ4 マッチングされた顧客とサーバーのペア間の距離（リンク長）の正確な分布は何か？
• RQ5 交換変換のもとで、時間反転後のプロセスの定常分布は、順方向プロセスのそれとどのように関係するか？

主な発見

• T = ℤ 上で、両端から中心に向かって構築するパスワイズ・ルインズ型構成により、無限二部マッチングモデルに対して一意的なFCFSマッチングが存在することが確立された。
• モデルは動的可逆である：マッチングペアを入れ替え、時間反転した後も、系列はi.i.d.のままであり、周辺分布は同一であり、マッチングはFCFSのままである。
• 未マッチングアイテムプロセスに関連する複数のマルコフ連鎖の積型定常分布が導出され、システム行動の正確な解析が可能になった。
• マッチングされたアイテム間のリンク長（マッチングされた顧客とサーバーの間の時間差）は、明示的な分布を有し、定常測度から正確に計算可能である。
• 時間反転後のプロセスは、定常測度に関して詳細バランスを満たしており、システムの動的可逆性が裏付けられた。
• 導出された積型解を用いて、未マッチングアイテムの期待数やマッチング遅延の分布といった性能指標が正確に計算された。