[論文レビュー] Reversible Logic Synthesis with Minimal Usage of Ancilla Bits

Siyao Xu|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 12被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、1つの基本ゲート（変種トフォリゲートまたはフレドキンゲート）を用いた、アンシラビットを最小限に抑えた可逆論理合成フレームワークを提示する。変種トフォリゲートが1つのアンシラビットを用いてすべてのnビット可逆ゲートを合成可能であり、偶数置換はアンシラビットを一切使用せずに合成可能であることを証明している。一方、フレドキンゲートは1つのアンシラビットを用いてすべての保存的可逆ゲートを生成可能であり、アンシラビット使用において最適性を達成している。

ABSTRACT

Reversible logic has attracted much research interest over the last few decades, especially due to its application in quantum computing. In the construction of reversible gates from basic gates, ancilla bits are commonly used to remove restrictions on the type of gates that a certain set of basic gates generates. With unlimited ancilla bits, many gates (such as Toffoli and Fredkin) become universal reversible gates. However, ancilla bits can be expensive to implement, thus making the problem of minimizing necessary ancilla bits a practical topic. This thesis explores the problem of reversible logic synthesis using a single base gate and a few ancilla bits. Two base gates are discussed: a variation of the 3-bit Toffoli gate and the original 3-bit Fredkin gate. There are three main results associated with these two gates: i) the variated Toffoli gate can generate all n-bit reversible gates using 1 ancilla bit, ii) the variated Toffoli can generate all n-bit reversible gates that are even permutations using no ancilla bit, iii) the Fredkin gate can generate all n-bit conservative reversible gates using 1 ancilla bit. Prior to this paper, the best known result for general universality requires three basic gates, and the best known result for conservative universality needs 5 ancilla bits. The second result is trivially optimal. For the first and the third result, we explicitly prove their optimality: the variated Toffoli cannot generate all n-bit reversible gates without using any extra input lines, and the Fredkin gate cannot generate all n-bit conservative reversible gates without using extra input lines. We also explore a stronger version of the second converse by introducing a new concept called borrowed bits, and prove that the Fredkin gate cannot generate all n-bit conservative reversible gates without ancilla bits, even with an unlimited number of borrowed bits.

研究の動機と目的

• 可逆論理合成におけるアンシラビットの最小化、これは量子計算および低消費電力計算分野における重要な課題である。
• 普遍的可逆ゲート生成におけるアンシラビット使用の理論的下界を確立する。
• 1つの基本ゲート（変種トフォリまたはフレドキン）を用いた構成の最適性を証明する。
• 可逆回路設計におけるアンシラビットの代替手段としての借用ビットの役割を調査する。
• アンシラビットを一切使用せずに普遍的可逆合成が達成可能かどうかという未解決の問題を解消する。

提案手法

• 3ビットのトフォリゲートの変種を導入し、1つのアンシラビットのみを用いて普遍的可逆ゲート合成を可能にする。
• 置換群論を用いてゲートの普遍性を分析し、可逆関数の偶奇性およびサイクル分解に焦点を当てる。
• 変種トフォリゲートと1つの借用ビットを用いて、C(i) NOTゲートを再帰的に構築する。
• アンシラビットを用いる構成と借用ペアを用いる構成の2通りを提案し、両者ともリソース使用を最小化する。
• 矛盾による証明を用いてアンシラビットの必要性を示し、無制限の借用ビットを許容しても、アンシラビットがなければ普遍的合成が不可能であることを示す。
• 分解技術を適用し、任意の置換を基本操作（t1: 0と1の交換、t2: 全ビットのシフト）の列に表現することで、ゲート複雑度と偶奇性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの変種トフォリゲートを用いて、1つのアンシラビットのみを用いてすべてのnビット可逆ゲートを生成可能か？
• RQ2 アンシラビットを一切使用せずに、すべての偶数nビット置換を生成可能か？
• RQ3 フレドキンゲートを用いて、1つのアンシラビットのみを用いてすべての保存的nビット可逆ゲートを生成可能か？
• RQ4 無制限の借用ビットを許容しても、フレドキンゲートを用いた普遍的可逆合成には少なくとも1つのアンシラビットが必要か？
• RQ5 1つの基本ゲートを用いて普遍的可逆合成を達成するための最小アンシラビット数は何か？

主な発見

• 変種トフォリゲートは、正確に1つのアンシラビットを用いてすべてのnビット可逆ゲートを生成可能であり、アンシラビットなしでは同様の合成が不可能であるため、これが最適である。
• 同じ変種トフォリゲートは、アンシラビットを一切使用せずにすべての偶数nビット置換を生成可能であり、これは証明的に最適である。
• フレドキンゲートは、1つのアンシラビットのみを用いてすべてのnビット保存的可逆ゲートを生成可能であり、この構成は最適である。
• フレドキンゲートは、無制限の借用ビットを許容しても、アンシラビットなしではすべての保存的可逆ゲートを生成できない。
• 本稿では、追加の入力ラインがなければ定数サイズの可逆ゲートは普遍的になれないことを証明し、アンシラビット使用の根本的な下界を確立した。
• 1つの借用ビットを用いて変種トフォリゲートでCn NOTを構築する場合、ゲート複雑度が指数関数的に増加するため、アンシラビットの最小化とゲート数のトレードオフが生じる可能性がある。