[論文レビュー] Reversing unknown quantum transformations: A universal protocol for inverting general unitary operations

Marco Túlio Quintino, Qingxiuxiong Dong+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、任意の未知の $d$-次元ユニタリ操作 $U_d$ を $k$ 回の使用によって逆転する普遍的で確率的な量子プロトコルを提示する。このプロトコルは、失敗確率が指数関数的に減少するように設計されており、正確な逆操作 $U_d^{-1}$ を達成する。この手法は逐次的戦略を採用し、正確な逆転に際して $k \geq d-1$ が必須であることを証明している。これは、因果的順序が不定であっても同様に成り立つ。一方で、半正定値計画法を用いて、因果的順序が不定な回路が量子的優位性を示すことを示している。

ABSTRACT

Given a quantum gate implementing a $d$-dimensional unitary operation $U_d$, without any specific description but $d$, and permitted to use $k$ times, we present a universal probabilistic heralded quantum circuit that implements the exact inverse $U_d^{-1}$, whose failure probability decays, exponentially in $k$. The protocol employs an adaptive strategy, proven necessary for the exponential performance. It requires $k\geq d-1$, proven necessary for exact implementation of $U_d^{-1}$ with quantum circuits. Moreover, even when quantum circuits with indefinite causal order are allowed, $k\geq d-1$ uses are required. We then present a finite set of linear and positive semidefinite constraints characterizing universal unitary inversion protocols and formulate a convex optimization problem whose solution is the maximum success probability for given $k$ and $d$. The optimal values are computed using semidefinite programming solvers for $k\leq 3$ when $d=2$ and $k\leq 2$ for $d=3$. With this numerical approach we show for the first time that indefinite causal order circuits provide an advantage over causally ordered ones in a task involving multiple uses of the same unitary operation.

研究の動機と目的

• 未知の $d$-次元ユニタリ $U_d$ を、その構造に関する事前知識なしに、普遍的かつ確率的な量子回路で逆転すること。
• 量子回路を用いて $U_d^{-1}$ を正確に実装するために必要な最小使用回数 $k$ を特定すること。
• 因果的順序が不定な回路が、未知ユニタリの逆転タスクにおいて因果的順序の回路を上回る性能を示せるかを調査すること。
• 与えられた $k$ と $d$ に対して最大成功確率を計算するための凸最適化問題を定式化し、解くこと。

提案手法

• プロトコルは、失敗確率の指数関数的減少を達成するために、逐次的戦略を用いて反復的に逆転プロセスを精緻化する。
• 成功が古典的信号によって知らされる、確率的かつヘラルド型の量子回路を構築し、$U_d^{-1}$ の実装に成功する。
• プロトコルは普遍的であり、$U_d$ の次元 $d$ 以外に $U_d$ の構造に関する事前知識を必要とせず、任意のユニタリ操作に適用可能である。
• 著者らは、すべての可能な普遍的ユニタリ逆転プロトコルを特徴付ける有限個の線形制約および半正定値制約の集合を導出する。
• これらの制約に基づいて凸最適化問題を定式化し、半正定値計画法により解けるようにする。これにより、与えられた $k$ と $d$ に対して最大成功確率を正確に計算できる。
• 数値的評価は $d=2$ の場合 $k \leq 3$ および $d=3$ の場合 $k \leq 2$ に対して実施され、最適な成功確率が得られた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子回路を用いて未知の $d$-次元ユニタリ $U_d$ を正確に逆転するための最小使用回数 $k$ は何か？
• RQ2 因果的順序が不定な回路が、未知ユニタリの逆転タスクにおいて因果的順序の回路を上回る性能を示せるか？
• RQ3 $k$ 回の使用で $U_d$ を逆転する際に達成可能な最大成功確率は何か？ また、$k$ と $d$ に対してどのようにスケーリングされるか？
• RQ4 ユニタリ逆転において、失敗確率が指数関数的に減少するには逐次的戦略が必須であるか？
• RQ5 普遍的ユニタリ逆転問題は、凸最適化フレームワークによって完全に特徴付けられるか？

主な発見

• プロトコルは、使用回数 $k$ が増加するにつれて失敗確率が指数関数的に減少するように設計され、任意の未知の $U_d$ を正確に逆転する。
• 量子回路を用いた正確な逆転には $k \geq d-1$ が必須であることが証明されており、因果的順序が不定であっても同様に成り立つ。
• $d=2$ の場合、半正定値計画法を用いて $k \leq 3$ に対して最適な成功確率が数値的に計算され、$k$ の増加に伴い指数的改善が確認された。
• $d=3$ の場合、$k \leq 2$ に対して最適な成功確率が計算され、$k \geq d-1$ の必要性が裏付けられた。
• 数値的結果は、因果的順序が不定な回路が、ユニタリ逆転タスクにおいて因果的順序の回路を上回ることを示しており、このような優位性の明確な実証例を初めて提供している。
• 凸最適化フレームワークは、普遍的ユニタリ逆転プロトコルの集合を完全に特徴付けられ、最大成功確率の正確な計算を可能にしている。