[論文レビュー] Review of deformation theory I: Concrete formulas for deformations of algebraic structures

Ai Guan, Andrey Lazarev+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2019

Advanced Topics in Algebra参考文献 34被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、微分付きLie代数および微分付き結合代数を用いて、結合的、Lie、pre-Lie、Leibniz、および3-Lie代数のコホモロジーおよび変形理論の明示的公式を提供する。変形は、これらの代数におけるMaurer-Cartan要素によって支配され、コホモロジーは無限小変形と障害を制御する。

ABSTRACT

In this review article, first we give the concrete formulas of representations and cohomologies of associative algebras, Lie algebras, pre-Lie algebras, Leibniz algebras and 3-Lie algebras and some of their strong homotopy analogues. Then we recall the graded Lie algebras and graded associative algebras that characterize these algebraic structures as Maurer-Cartan elements. The corresponding Maurer-Cartan element equips the graded Lie or associative algebra with a differential. Then the deformations of the given algebraic structures are characterized as the Maurer-Cartan elements of the resulting differential graded Lie or associative algebras. We also recall the relation between the cohomologies and the differential graded Lie and associative algebras that control the deformations.

研究の動機と目的

• 結合的、Lie、pre-Lie、Leibniz、および3-Lie代数のコホモロジー理論の明示的公式の提供。
• 関連する微分付きLie代数または結合代数におけるMaurer-Cartan要素を用いたこれらの代数的構造の変形の特徴付け。
• コホモロジーと変形を制御する微分付き代数の間の関係の確立。
• これらの代数の強ホモトピー版（例：A∞およびL∞-構造）への枠組みの拡張。

提案手法

• 代数的構造を符号するMaurer-Cartan要素を有する次数付きLie代数および結合代数の構成。
• 得られた微分付き代数におけるMaurer-Cartan要素によって誘導される微分を用いてコホモロジーの定義。
• 結合代数に対してはHochschild複体、Lie代数に対してはChevalley-Eilenberg型複体の適用。
• ホモトピー移行および導来括弧の形式的論法を用いて、A∞およびL∞-代数への結果の拡張。
• twisted 微分付き代数におけるMaurer-Cartan要素を用いたA∞-およびL∞-準同型の変形の特徴付け。
• bar-cobar双対性および余自由コモノイドを用いて、ホモトピー的状況における準同型およびモジュール構造の記述。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合的、Lie、pre-Lie、Leibniz、および3-Lie代数のコホモロジーは、標準的複体を用いてどのように明示的に計算できるか？
• RQ2 これらの代数的構造の変形理論を制御する微分付きLie代数または結合代数は何か？
• RQ3 これらの代数におけるMaurer-Cartan要素は、元の構造の変形をどのように分類するか？
• RQ4 コホモロジーは、無限小変形の分類および障害の検出において果たす役割は何か？
• RQ5 理論は、A∞-およびL∞-代数およびそれらの準同型の強ホモトピー版へどのように拡張できるか？

主な発見

• 結合代数のコホモロジーはHochschild複体によって支配され、微分は結合的積によって定義される。
• Lie代数の場合、Chevalley-Eilenberg複体がコホモロジーと変形を制御し、微分はLie括弧を含む。
• 結合代数の変形は、自己準同型代数から構成された微分付きLie代数におけるMaurer-Cartan要素に対応する。
• pre-Lie代数の変形複体は、pre-Lie積を用いて関連する結合代数のHochschild複体と同型である。
• Leibniz代数の場合、非反対称括弧を持つChevalley-Eilenberg複体の一般化によってコホモロジーが記述される。
• 本論文は、A∞-およびL∞-代数の変形が、それぞれ微分付き結合代数および微分付きLie代数におけるMaurer-Cartan要素によって支配されることを確立し、微分d_fによる明示的ねじれを示している。