[論文レビュー] Review of the Onsager "Ideal Turbulence" Theory

Gregory L. Eyink|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2018

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 55被引用数 13

ひとこと要約

本論文は、非粘性流体におけるエネルギー散逸がゼロ粘性極限でも持続するという『理想乱流』の正確な数学的理論であるラース・オンサガーの理論を、リノルマライゼーション群の概念と保存則の異常性を用いて、現代的で理解しやすい形で解説している。滑らかでないにもかかわらず、特異的でホルダー連続な速度場がエネルギーを保存できることを示し、非粘性極限における乱流的散逸のパラドックスを解消する。

ABSTRACT

In his famous undergraduate physics lectures, Richard Feynman remarked about the problem of fluid turbulence: "Nobody in physics has really been able to analyze it mathematically satisfactorily in spite of its importance to the sister sciences". This statement was already false when Feynman made it. Unbeknownst to him, Lars Onsager decades earlier had made an exact mathematical analysis of the high Reynolds-number limit of incompressible fluid turbulence, using a method that would now be described as a non-perturbative renormalization group analysis and discovering the first "conservation-law anomaly" in theoretical physics. Onsager's results were only cryptically announced in 1949 and he never published any of his detailed calculations. Onsager's analysis was finally rescued from oblivion and reproduced by this author in 1992. The ideas have subsequently been intensively developed in the mathematical PDE community, where deep connections emerged with John Nash's work on isometric embeddings. Furthermore, Onsager's method has more recently been successfully applied to new physics problems, such as compressible fluid turbulence and relativistic fluid turbulence, yielding many novel testable predictions. This note will explain Onsager's exact analysis of incompressible turbulence using modern ideas on renormalization group and conservation-law anomalies, and it will also very briefly review subsequent developments.

研究の動機と目的

• 非圧縮性流体のゼロ粘性極限におけるエネルギー散逸のオンサガー1949年未発表の解析を明確にすること。この解析は数十年にわたり無視されてきた。
• 現代のリノルマライゼーション群および非摂動的場理論の概念を用いて、オンサガー理論を再導出し、現代の理論物理学者に理解しやすくすること。
• 無限のレイノルズ数においても、速度場の特異性によってエネルギー散逸が持続しうることを示し、流体力学における長年のパラドックスを解消すること。
• 圧縮性流体、相対論的流体、磁気流体力学的乱流への適用可能性を示すことで、理論の関連性を拡張すること。また、循環や磁束といったラグランジュ不変量に対しても適用可能であることを示すこと。
• ホルダー連続な速度場によって生じる、粒子軌道における『自発的確率性』の出現を強調し、スカラーおよびエネルギー散逸の異常性を説明すること。

提案手法

• スケールℓにおける粗化解析（ブロックスピン正則化）を用いて、正則化された速度場を定義し、非粘性極限における発散する勾配の数学的制御を確保する。
• リノルマライゼーション群の枠組みを用いて、速度構造関数のスケーリング挙動を分析し、スケーリング指数ζpの厳密な上限を導出する。
• すべてのp ≥ 3に対してζp ≤ p/3という重要な不等式を導出し、高レイノルズ数乱流におけるエネルギー・カスケードのスケール局在性を証明する。
• 滑らかな保存則が特異な速度場の極限で破綻するという『保存則の異常性』の概念を導入し、オイラー不変量を超えてラグランジュ不変量に対しても拡張する。
• オイラー方程式のホルダー連続解の理論を用いて、無限のレイノルズ数極限において粒子軌道が一意でなくなることを示し、自発的確率性を生じることを明らかにする。
• ジョン・ナッシュの等長埋め込み定理などのより広範な数学的発展と理論を結びつけ、圧縮性流体および相対論的流体といった新しい物理系への応用を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非圧縮性流体のゼロ粘性極限において、なぜエネルギー散逸が持続するのか。これは滑らかなオイラー解の期待と矛盾する。
• RQ2 エネルギー散逸が非粘性極限で非ゼロのままであるための、速度場に必要な数学的条件は何か。また、その条件は解の正則性とどのように関係するか。
• RQ3 エネルギー、ヘリシティ、循環の保存則は、無限のレイノルズ数極限でどのように崩壊するのか。それらの保存は、何によって置き換えられるのか。
• RQ4 スカラー散逸の異常性の背後にある物理的メカニズムは何か。また、そのメカニズムは速度場の特異性とどのように関連しているか。
• RQ5 粒子軌道における自発的確率性の理論が、流体およびプラズマ乱流における異常散逸を説明できるか。

主な発見

• オンサガーの理論は、速度場が指数h ≤ 1/3のホルダー連続性を満たす限り、ゼロ粘性極限においてもエネルギー散逸が非ゼロのままであることを証明し、特異的挙動の鋭い閾値を確立する。
• 速度構造関数のスケーリング指数は、すべてのp ≥ 3に対してζp ≤ p/3を満たし、これはエネルギー・カスケードがスケールに局在していることを示し、非粘性極限において有限エネルギー散逸率が存在することを支持する。
• ホルダー連続なベクトル場を持つ常微分方程式の解の一意性の欠如によって、粒子軌道に自発的確率性が生じ、境界から離れた場所での異常スカラー散逸を説明する。
• ケルビンの循環やアーフェンの磁束といったラグランジュ不変量は、無限のレイノルズ数極限では決定論的に保存されず、マーチングであることが示され、統計的保存を示唆する。
• 理論は圧縮性流体および相対論的流体における異常散逸を予測し、非圧縮性ナビエ＝ストークス流の範囲を超えてその適用範囲を拡張する。
• この枠組みは、摂動的でない厳密な基礎を提供し、便宜的な閉じ込めに依存せずに、高レイノルズ数流れを解析するための正確な道具を提供する。