[論文レビュー] Revisit to the tail asymptotics of the double QBD process: Refinement and complete solutions for the coordinate and diagonal directions

Masahiro Kobayashi, Masakiyo Miyazawa|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、モーメント生成関数と母関数を組み合わせた解析関数法を用いて、二重QBD過程の定常分布の尾漸近的性質を精緻化し、完成させた。座標軸方向および対角方向における定常確率の正確な漸近形態—特に $ n^{-3/2}a^{-n} $ または $ n^{-1/2}a^{-n} $ —を確立し、一般のスキップフリー条件のもとで長年の文献的空白を解消した。

ABSTRACT

We consider a two dimensional skip-free reflecting random walk on a nonnegative integer quadrant. We are interested in the tail asymptotics of its stationary distribution, provided its existence is assumed. We derive exact tail asymptotics for the stationary probabilities on the coordinate axis. This refines the asymptotic results in the literature, and completely solves the tail asymptotic problem on the stationary marginal distributions in the coordinate and diagonal directions. For this, we use the so-called analytic function method in such a way that either generating functions or moment generating functions are suitably chosen. The results are exemplified by a two node network with simultaneous arrivals.

研究の動機と目的

• 二重QBD過程の定常分布の座標軸および対角方向における正確な尾漸近的性質を解消する。
• 特に軸上における周辺分布に対して部分的または明示性に欠ける既存の漸近的結果を精緻化する。
• 非負整数象限における座標軸および対角線に沿った定常確率の減衰率を完全に解明する。
• 収束領域および支配的特異点を分析するため、モーメント生成関数と母関数を組み合わせる手法を開発する。
• スキップフリー遷移および反射境界を持つキューイングネットワークに一般化可能な体系的な解析的枠組みを提供する。

提案手法

• 定常分布の収束領域を特定するために、モーメント生成関数の解析性および凸性を活用する解析関数法を用いる。
• 特異点、特に支配的特異点を分析するため、モーメント生成関数から母関数に切り替える。逆問題技術を用いる。
• カーネル関数を用い、リーマン面構成に依存しない不等式（補題8）を導出する。
• スキップフリー遷移から導かれるカーネル関数の2次方程式構造を応用し、境界挙動および特異点を特徴付ける。
• カーネル方程式の解を用いて、座標軸および対角方向に沿った定常分布の減衰率および漸近形態を特定する。
• 同時到着を伴う2ノードキューイングネットワークを用いて結果を検証し、本手法が実際のキューイングモデルに適用可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重QBD過程の座標軸に沿った定常分布の正確な尾漸近的挙動は何か？
• RQ2 座標軸方向の結果が得られたとき、対角方向における尾漸近的性質はどのように特徴づけられるか？
• RQ3 解析関数法を拡張することで、既存の部分的結果を超えて完全かつ明示的な漸近形態を得られるか？
• RQ4 母関数の支配的特異点が定常分布の減衰率を決定する役割を果たすのはどのような状況か？
• RQ5 境界に沿って尾が幾何的形（$ ho^{-n} $）ではなく、べき乗指数型（例：$ n^{-3/2}a^{-n} $）に従うのはどのような条件下か？

主な発見

• 本稿は、$ P(L_1 o n, L_2 = 0) \to c \times n^{-3/2} (u_1^{ ext{max}})^{-n} $ の形の正確な尾漸近的性質を導出している。ここで $ u_1^{ ext{max}} $ はカーネル関数から導かれる方程式系の解である。
• $q = 0$ の場合、$ L_1 \to n, L_2 = 0 $ に沿った尾の減衰は、$ \rho_1^{-1} = u^{(1,\text{r})}_1 $ が成り立つ限り幾何的（$ \rho_1^{-n} $）である。この条件は $ \rho_1 \rho_2 \rho_3 \cdots \rho_{100} $ を満たすとき成立し、そうでない場合は $ n^{-3/2} $ の補正項が付加される。
• 本手法により、減衰率はカーネル方程式の解によって決定され、漸近形態は支配的特異点が実軸上にあるかどうかに依存することが示された。
• 減衰率が幾何的でない場合、すなわち $ \rho_1^{-1} < u^{(1,\text{max})}_1 $ が成り立つ場合、漸近形態 $ n^{-3/2}a^{-n} $ が生じる。
• 対角方向について、漸近的挙動は座標軸方向の結果と整合的であり、母関数の支配的特異点によって決定される同じ減衰率を示す。
• 本手法は、同時に到着を伴う2ノードネットワークにおいて検証され、理論的予測と一致する漸近形態が得られた。