[論文レビュー] Revisiting Offspring Maxima in Branching Processes

George P. Yanev|ArXiv.org|Oct 21, 2006

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、移民を伴う・伴わないサブクリティカル、クリティカル、スーパークリティカルなガルトン＝ワトソン過程における、分岐過程の最大後代サイズの漸近的性質を再考する。生成関数と極値理論を用いて、${\cal M}_n$ の極限分布を確立し、尾部同値性および最大分野の吸引域仮定の下で、一般化極値分布への収束を示す。幾何分布、負の二項分布、パレート分布の後代分布に対して、明示的な形が導出されている。

ABSTRACT

We present a progress report for studies on maxima related to offspring in branching processes. We summarize and discuss the findings on the subject that appeared in the last ten years. Some of the results are refined and illustrated with new examples.

研究の動機と目的

• 異なる分岐過程モデルにおける最大後代サイズ ${\cal M}_n$ の漸近的分布を分析すること。
• 最大値に現れる独立同一分布の確率変数の数がランダムで、後代分布に依存する分岐過程に、極値理論を拡張すること。
• 移民を伴うサブクリティカルおよびクリティカル過程における ${\cal M}_n$ の極限定理を導出すること、特にフォスター＝ペイクス過程およびBGW過程を含む。
• 尾部同値性および最大分野の吸引域が、二種類の個体を持つ分岐過程における ${\cal M}_n$ の極限分布に与える影響を調査すること。
• 幾何分布やパレート分布などのさまざまな後代分布の下で、${\cal M}_n$ の極限分布および期待値の明示的表現を提供すること。

提案手法

• サブクリティカル過程における ${\cal M}_n$ の極限分布を特徴付けるために、確率的生成関数（p.g.f.s）を用い、$\gamma(f(s)) = m\gamma(s) + 1 - m$ のような関数方程式を解く。
• 最大分野の吸引域および尾部同値性の概念を用いて、${\cal M}_n$ の弱収束が一般化極値分布に至ることを導出する。
• 二変量極限分布のラプラス変換を用いて、二種類の個体を持つ過程における ${\cal M}_n^\zeta$ の極限分布を導出する。
• ${\cal M}_n$ が非退化極限に収束するように、正規化列 $a(n)$ および $b(n)$ を導入して中心化およびスケーリングを行う。
• インジケータ関数および条件付き確率を用いて、特にフォスター＝ペイクス過程および移民修正過程において、移民および絶滅条件付きの取り扱いを行う。
• 二変量極値理論および確率的カップリング技術を用いて、二種類の個体の最大値を含む二種類の分岐過程における分析を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非絶滅条件下におけるサブクリティカルなガルトン＝ワトソン過程における最大後代サイズ ${\cal M}_n$ の極限分布は何か？
• RQ2 移民の導入が、分岐過程における ${\cal M}_n$ の極限的挙動に与える影響は何か？
• RQ3 二種類の個体を持つクリティカルな分岐過程において、最大後代サイズが非退化極限に収束するための条件は何か？
• RQ4 後代分布の尾部にどのような条件を課すと、${\cal M}_n$ が一般化極値分布に収束するか？
• RQ5 二種類の個体を持つ分岐過程において、二つのタイプの相対的なサイズが、最大家族サイズの極限分布にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 幾何分布を有するサブクリティカルなガルトン＝ワトソン過程では、$\lim_{n\to\infty}P({\cal M}_n \leq k \mid Z_{n-1}>0) = \frac{(p-q)(1-q^{k+1})}{p - q(1-q^{k+1})}$ が成り立ち、$m = q/p < 1$ である。
• 負の二項分布のp.g.f. $\gamma(s) = \left(\frac{1-m}{1-ms}\right)^\nu$ を持つ移民修正過程では、極限確率は $\left(\frac{1-m}{1-mF(x)}\right)^%\nu$ となり、$\lim_{n\to\infty}E{\cal M}^{im}_n \leq \frac{\nu m^2}{1-m}$ である。
• $f(s) = (1+m - ms)^{-1}$ および $g(s) = 1 - \frac{\mu}{m}\log(1 + m - ms)$ を持つフォスター＝ペイクス過程では、$\lim_{n\to\infty}P({\cal M}^0_n \leq x) = \frac{m - \mu\log(1 - mF(x))}{m - \mu\log(1 - m)}$ であり、$\lim_{n\to\infty}E{\cal M}^0_n = \mu \left(m + \sum_{k=0}^\infty \log\left(\frac{1}{1 - F(k)}\right)\right)$ である。
• 重尾の後代分布（例：パレート分布）を持つ二種類の個体を持つクリティカルな分岐過程では、$\lim_{n\to\infty}P\left(\frac{{\cal M}_n^\zeta}{\theta_1(v_1Bn)^{1/c}} \leq x \mid {\bf Z}(n) \neq {\bf 0}\right) = \left[1 + \left(1 + \frac{v_2}{v_1}\left(\frac{\theta_1}{\theta_2}\right)^{-c}\right)x^{-c}\right]^{-1}$ が成り立つ。
• ロジスティック分布および指数分布の後代分布で、同じ正規化定数を用いる場合、極限は $\left[1 + \left(1 + \frac{v_2}{v_1}\right)e^{-x}\right]^{-1}$ となり、${\cal M}_n^\zeta - \log(v_1Bn)$ に対してロジスティック極限分布が得られる。
• 二種類の個体を持つ過程における ${\cal M}_n^\zeta$ の極限分布は $\left[1 + h(x,\theta) + \frac{v_2}{v_1}h(cx + d, \theta)\right]^{-1}$ であり、ここで $h(x,\theta)$ は標準Gumbel分布のハザード関数である。