[論文レビュー] Revisiting path-type covering and partitioning problems

Paul Manuel|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本調査は、グラフ理論におけるパス型被覆および分割問題（パス、誘導パス、等長パスの被覆および分割）を、用語、表記記号、概念的違いの標準化によって統一的かつ分類的に整理する。特に等長パス分割に関する研究ギャップが顕著であることが判明し、研究者が文献を効果的に参照し、用語の混乱を避けるための体系的基盤を提供する。

ABSTRACT

Covering problems belong to the foundation of graph theory. There are several types of covering problems in graph theory such as covering the vertex set by stars (domination problem), covering the vertex set by cliques (clique covering problem), covering the vertex set by independent sets (coloring problem), and covering the vertex set by paths or cycles. A similar concept which is partitioning problem is also equally important. Lately research in graph theory has produced unprecedented growth because of its various application in engineering and science. The covering and partitioning problem by paths itself have produced a sizable volume of literatures. The research on these problems is expanding in multiple directions and the volume of research papers is exploding. It is the time to simplify and unify the literature on different types of the covering and partitioning problems. The problems considered in this article are path cover problem, induced path cover problem, isometric path cover problem, path partition problem, induced path partition problem and isometric path partition problem. The objective of this article is to summarize the recent developments on these problems, classify their literatures and correlate the inter-relationship among the related concepts.

研究の動機と目的

• グラフ理論の文献において広く見られるパス型被覆および分割問題に関する用語および表記記号の不整合を解消すること。
• 6つの主要な問題（パス、誘導パス、等長パスの被覆および分割問題）を分類・体系化すること。
• 未解決の研究課題および未開拓の分野、特に等長パス分割に注目すること。
• この分野における初期研究者にとって、焦点を絞った明確な研究テーマを選定する基盤となること。
• ゼロフォースィング数、最小ランク、およびノードハウス＝ガッダム型不等式といった関連概念を統一的な枠組み内で関連付けること。

提案手法

• 被覆（頂点集合が少なくとも1回以上被覆される）と分割（頂点集合が正確に1回だけ分割される）の有無に基づき、6つのパス型問題を体系的に分類すること。
• パスの種別を区別：標準パス、誘導パス（弦なし）、等長パス（最短パス、別名地図的パス）。
• 表記記号の標準化：被覆問題には πc(G)、ρc(G)、ipc(G) を使用；分割問題には πp(G)、ρp(G)、ipp(G) を使用。
• 1988年から2018年までの30年間の文献を調査し、構造的結果、計算複雑性、アルゴリズム的アプローチに重点を置く。
• 関連概念の統合：ゼロフォースィング数 z(G)、最小ランク M(G)、およびノードハウス＝ガッダム型関係。
• 主要な定理や予想（例：ガリ＝ミルグラム、ベルジュのパス分割予想）を、調査の概念的基盤として用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜグラフ理論におけるパス型被覆および分割問題について、用語や表記記号に一貫性が欠けているのか？
• RQ2 パス被覆、誘導パス被覆、等長パス被覆問題の間には、正確にどのような概念的・構造的違いがあるのか？
• RQ3 等長パス分割問題の計算複雑性は現在どうなっており、なぜ一般グラフではほとんど未調査なのか？
• RQ4 誘導パス分割数 ρp(G) とゼロフォースィング数 z(G) や最小ランク M(G) といった関連不変量との関係は何か？
• RQ5 パス型分割において、特に等長パスおよび誘導パスに関して、主な未解決問題と研究ギャップは何か？

主な発見

• 一般グラフにおける等長パス分割問題の計算複雑性は、まだ明らかにされていない。
• 誘導パス分割問題は、2つの誘導パスに分割する場合ですらNP完全である。
• 木については、誘導パス分割数 ρp(G) はゼロフォースィング数 z(G) に等しく、M(G) = ρp(G) が成り立つ。
• ユニサイクルグラフでは、M(G) = ρp(G) または M(G) = ρp(G) −1 であり、外部平面グラフでは M(G) ≤ ρp(G) が成り立つ。
• 完全二部グラフ Pm×Pn については、誘導パス分割数は正確に2つである：ρp(Pm×Pn) = 2。
• ρp(G) に関するノードハウス＝ガッダム型不等式が確立された：任意の n 頂点を持つグラフ G に対して、√n ≤ ρp(G) + ρp(G) ≤ ⌈3n/2⌉ が成り立つ。