[論文レビュー] Revisiting Persistence of Chemical Reaction Networks through Lyapunov Function Partial Differential Equations

Xiaoyu Zhang, Zhou Fang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2018

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、質量作用化学反応ネットワーク（CRNs）における持続性を分析するための新しいリャプノフ関数PDE手法を導入し、正の直交座標の境界上にω極限点が存在しないことを検証可能な基準の導出を可能にした。この手法により、特に1次元 $Ω_I$-内的ネットワークのクラスが、速度定数に依存せずに持続的であることが証明され、従来の結果を超える新たな知見が得られた。

ABSTRACT

In this paper, we propose a novel technique, referred to as the Lyapunov Function PDEs technique, to diagnose persistence of chemical reaction networks with mass-action kinetics. The technique allows that every network is attached to a Lyapuonv function PDE and a boundary condition whose solutions are expected to be Lyapunov functions for the network. By means of solution of the PDEs, either in the forms of itself or its time derivative, some checkable criteria are proposed for persistence of network systems. These criteria show high validity in proving that neither non-semilocking boundary points nor semilocking boundary non-equilibrium points (with additional conditions included) in mass-action systems are $ω$-$limit$ points. Further, we prove that a class of networks, called $\mathcal{W}_{I}$-endotactic networks that are regardless of values of the system parameters, a set larger than endotactic networks but smaller than $w_{I}$-endotactic networks, also give rise to persistent systems if the networks are $1$-dimensional. Although part of our results are covered by existing ones, part of them are still new. The proposed Lyapunov Function PDEs technique allows us to check persistence of mass action systems in an alternative corner, and is exhibiting large potential.

研究の動機と目的

• 質量作用キネティクスを有する化学反応ネットワークにおける持続性を検証するための新しい分析フレームワークの構築を目的とする。
• 軌道が消滅に近づく（すなわち境界上のω極限点となる）かどうかを特定する課題に取り組む。
• 非半ロックイングおよび半ロックイング非平衡境界点に適用可能なPDEに基づくリャプノフ関数アプローチを導入することで、既存の持続性基準を拡張することを目的とする。
• 1次元 $Ω_I$-内的ネットワークが、速度定数にかかわらず持続的であることを証明し、内的ネットワークと $w_I$-内的ネットワークの間のギャップを埋めることを目的とする。

提案手法

• 各CRNに対してリャプノフ関数PDEを構築し、境界条件はネットワークの構造とキネティクスから導出する。
• PDEの解、またはその時間微分を用いて、持続性の検証可能な基準を導出する。
• リャプノフ関数の勾配が軌道に沿ってどのように振る舞うかを分析することで、ω極限集合を解析する。
• 高次元系を低次元系に還元するための射影技術を用いる。特に、境界点で濃度がゼロとなる種の集合に焦点を当てる。
• 反応速度の極限を、濃度がゼロに近づく際の、リャプノフ関数の勾配を含む指数関数的項を用いて分析する。
• リャプノフ関数の時間微分が境界点の近傍で一様に負であれば、その点はω極限点にはなり得ないことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PDEに基づくリャプノフ関数フレームワークを用いて、質量作用CRNsにおける持続性を検証できるか？
• RQ2 非平衡境界点、特に半ロックイング点がω極限点である可能性をどのように除外できるか？
• RQ3 1次元 $Ω_I$-内的ネットワークは、内的でない場合でも、すべての速度定数に対して持続的であるか？
• RQ4 提案されたPDE手法は、非半ロックイングおよび半ロックイング境界点に対して、既知の持続性結果を回復または拡張できるか？

主な発見

• リャプノフ関数PDE手法により、質量作用系における持続性の検証に新たな代替手法が提供され、その解がリャプノフ関数として機能する。
• 非半ロックイング境界点がω極限点でないことは、関連するPDEの解が特定の条件を満たす場合に証明できる。
• 半ロックイング境界非平衡点については、リャプノフ関数の時間微分がその近傍で一様に負であれば、持続性が保証される。
• 本稿では、1次元 $Ω_I$-内的ネットワークがすべてのパrameter値に対して持続的であることを確立した。これは、内的でない場合でも同様である。
• 本手法により、境界点近傍での反応速度の極限挙動が、活性種にのみ依存することを示し、低次元系への還元が可能であることが一般化された。