[論文レビュー] Revisiting the charged BTZ metric in nonlinear electrodynamics

S. Habib Mazharimousavi, M. Halilsoy+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2012

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、線形マクスウェル電磁力学の代わりに非線形電磁力学（NED）を用い、対数型ラグランジアンを採用することで、2+1次元における正則で電荷を帯びたBTZブラックホール解を提案する。電場と電位は r=0 で正則となり、線形理論に見られる特異性が解消されるが、時空の計量は依然として特異性を示す。定理により、2+1次元で回転対称性とNEDを満たす場合、電気的ブラックホールが必然的に形成されることを証明し、双対性によりこの設定では磁気的ブラックホールは存在できないことが示される。

ABSTRACT

In contrast to its chargeless version the charged Banados, Taitelboim and Zanelli (BTZ) metric in linear Maxwell electromagnetism is known to be singular at r=0. We show, by employing nonlinear electrodynamics that one obtains charged, extension of the BTZ metric with regular electric field. This we do by choosing a logarithmic Lagrangian for the nonlinear electrodynamics. A Theorem is proved on the existence of electric black holes and combining this results with a duality principle disproves the existence of magnetic black holes in 2+1-dimensions.

研究の動機と目的

• 線形マクスウェル電磁力学における電荷を帯びたBTZブラックホール解の r=0 特異性を、非線形電磁力学（NED）を用いて解消すること。
• 特に電場と計量構造の役割に注目し、2+1次元でNEDを用いて正則なブラックホール解を構築できるかどうかを調査すること。
• 任意の円対称な2+1次元時空にU(1)電場を伴うNEDが存在する場合、必然的にブラックホールが形成されることを示す一般定理を確立すること。
• 2+1次元NEDにおける双対性の意味を検討し、特にこの枠組みでは磁気的ブラックホールが存在しない理由を明らかにすること。

提案手法

• 対数型NEDラグランジアンを採用：$\mathcal{L}(F) = -\frac{1}{\beta^2} \ln(1 + \beta^2 F)$ であり、$\beta \to 0$ の極限でマクスウェル理論に還元され、$\beta \to \infty$ の極限でゼロに収束する。
• 2+1次元一般相対性理論に整合する静的な回転対称計量のアンザッツを採用：$ds^2 = -f(r)dt^2 + \frac{dr^2}{f(r)} + r^2 d\varphi^2$。
• 作用の変分により非線形マクスウェル方程式を導出：$d(^\star \mathbf{F} \mathcal{L}_F) = 0$ となり、保存電荷 $Q$ が得られる。
• アインシュタイン-NED方程式を解いて、質量 $M$、宇宙定数 $\Lambda$、NEDパラメータを含む計量関数 $f(r)$ を得る。
• 双対性変換 $Q \to iP$ を用いて電気的解から磁気的解を生成し、得られた場と計量構造を解析する。
• 座標変換を適用して座標特異性を取り除き、解の物理的性質を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形電磁力学（NED）を用いた2+1次元で、正則で電荷を帯びたBTZブラックホール解を構築できるか？
• RQ2 対数型NEDラグランジアンを用いることで、$r=0$ における電場特異性は解消されるが、ブラックホール構造は維持されるか？
• RQ3 2+1次元時空にU(1)電場を伴うNEDが存在する場合、どのような条件下でブラックホールが必然的に形成されるか？
• RQ4 双対性と導出された定理から示唆されるように、なぜ2+1次元NEDでは磁気的ブラックホール解が存在しないのか？
• RQ5 NEDの導入は、計量関数 $f(r)$ および $r=0$ 近傍における電場・磁場の振る舞いにどのように影響を与えるか？

主な発見

• 電場は $r=0$ で正則となり、有限の最大値 $E_{\text{Max}} = \frac{1}{\sqrt{2}|\beta|}$ を示し、線形理論における $1/r$ 発散が解消される。
• 電位に対しても $r=0$ で正則となり、$V(r=0) = -\frac{Q}{2}(1 - \ln(2Q^2\beta^2))$ となる。これはマクスウェル理論における対数発散とは対照的である。
• 電場が正則であるにもかかわらず、計量関数 $f(r)$ は依然として $r=0$ で特異性を示し、時空特異性が継続することを示している。
• 一般定理が証明された：任意の円対称な2+1次元時空にU(1)電場を伴うNEDが存在する場合、必然的にブラックホール解が存在する。
• 双対性を用いて、2+1次元NEDにおける純粋な磁気的解はブラックホールを形成しないことが示された。対応する計量にはイベントホライズンが存在しないためである。
• 対数型ラグランジアンにより得られる計量は、$\beta \to 0$ の極限で標準的な電荷を帯びたBTZ解に還元され、$\beta \to \infty$ の極限では電荷なしのBTZ解に還元される。