[論文レビュー] Reworking on affine exterior algebra of Grassmann, Peano and his school

Gabriele Greco, Enrico Pagani|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、グレースマンのアフィン外部代数をペアノとその門人の視点から再構築し、再評価する。特に、同値関係による商（quotienting）による定義による抽象化の手法を用いて、幾何的対象を形式化したペアノの革新的アプローチに焦点を当てる。外部代数の構築において、アフィン幾何が基礎的十分性を有することを示し、グレースマンとペアノの3次元幾何的微積分における計量構造が、しばしばアフィン構造に還元可能であることを明らかにする。

ABSTRACT

In this paper a construction of affine exterior algebra of Grassmann, with a special attention to the revisitation of this subject operated by Peano and his School, is examined from a historical viewpoint. Even if the exterior algebra over a vector space is a well known concept, the construction of an exterior algebra over an affine space, in which points and vectors coexist, has been neglected. This paper wants to fill this lack. Some attention is given to the introduction of defining by abstraction (today called definition by quotienting or by equivalence relation), a procedure due to and used by Peano to define geometric forms, basic elements of an affine exterior algebra. This Peano's innovative way of defining, is a relevant contribution to mathematics. It is observed that in the construction of an affine exterior algebra on the Euclidean three-dimensional space, Grassmann and Peano make use of metric concepts: an accurate analysis shows that, in some cases, the metric aspects can be eliminated, putting into evidence the sufficiency of the underlying affine structure of the Euclidean space. In the final part of the paper some geometrical and mechanical applications and interpretations of the affine exterior algebra given by Grassmann and Peano are presented.

研究の動機と目的

• グレースマンが形式化したアフィン外部代数の歴史的発展を再構築し、ペアノおよびその学派による再解釈を分析すること。
• ペアノが同値関係による商（quotienting）を用いた抽象化の手法により幾何的形状を定義する方法を強調し、数学的構成における基盤的革新を浮き彫りにすること。
• グレースマンおよびペアノの幾何的微積分における計量的概念が、一般的に不可欠であると想定されてきたが、それらがアフィン構造に還元可能であることを示し、アフィン構造の十分性を立証すること。
• アフィン外部代数の幾何的および機械的応用を提示し、その実用的・理論的関連性を示すこと。
• 計量仮定に依存しない独立した概念的・構造的整合性を確立することで、歴史的に軽視されてきたアフィン外部代数の歴史的無視を是正すること。

提案手法

• ペアノの『Calcolo geometrico』および関連文献を分析し、現代の代数的用語を用いて、ペアノによるグレースマンのAusdehnungslehreの再解釈を再構築する。
• 同値関係による商（quotienting）の概念を用い、有向線分や符号付き面積などの幾何的対象を形式化する。
• 計量的概念がグレースマンおよびペアノの構成において果たす役割を検討し、それらを除去可能な場合を体系的に同定する。
• グレースマンの元来の計量依存的表現と、ペアノのアフィン制限付き表現を比較し、最小限の構造的要件を抽出する。
• ペアノの『Analisi della teoria dei vettori』および『Formulario mathematico』からの公理的枠組みを用い、アフィン外部代数の代数的構造を形式化する。
• 得られた代数的枠組みを、面積・体積の計算やベクトル場解析といった古典的幾何学的・力学的問題に適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ペアノおよびその学派は、点とベクトルが共存するアフィン空間の文脈において、グレースマンの外部代数をどのように再解釈したのであろうか？
• RQ2 ペアノが同値関係による商（quotienting）を用いた抽象化による幾何的対象の定義方法は、数学的構成においてどのように画期的かつ基盤的貢献を果たしたのであろうか？
• RQ3 グレースマンおよびペアノの幾何的微積分における計量的概念は、一般性を損なわずにどの程度除去可能であり、アフィン構造のみが保持された場合に何が残るのか？
• RQ4 アフィン外部代数の幾何的および機械的応用は何か？それらは計量に基づく表現と比べてどのように異なるか？
• RQ5 なぜアフィン外部代数は歴史的に軽視されてきたのであろうか？また、計量依存的アプローチに比べて、どのような概念的利点を提供するのであろうか？

主な発見

• ペアノによる幾何的形状の抽象化（現在では同値関係による商）という手法は、幾何的対象を構成する画期的かつ数学的に厳密なアプローチであった。
• 本論文は、グレースマンおよびペアノの幾何的微積分の大部分において、計量構造が本質的ではないことを示しており、外部代数の構築にあたってはアフィン構造のみで十分であることを立証している。
• 著者らは、ユークリッド3次元空間のアフィン外部代数が計量的考えなしに独立して構築可能であることを示し、計量幾何がベクトル・テンソル微積分の基礎であると想定されるのを覆すものである。
• アフィン外部代数の歴史的無視は、グレースマンの原典に伴う哲学的雰囲気および座標に基づく解析的幾何の優位性に起因するとされる。
• ペアノの『Calcolo geometrico』および関連文献は、計量的仮定に依存せず、一貫性があり、公理的かつ応用豊富な幾何的微積分の枠組みを提供しており、現代のベクトル空間および外部代数形式化を予見している。
• 本論文は、計量に基づく表現に比べ、より一般的かつ概念的に明確な基盤を提供するとして、アフィン外部代数が幾何的および力学的応用のためのより優れた基礎であると確立している。