[論文レビュー] Rheochaos in a Scalar Shear-Thickening Model

M. E. Cates, David Head+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2002

Rheology and Fluid Dynamics Studies被引用数 1

ひとこと要約

本論文は、ゼロレイノルズ数におけるせん断強化流体のスカラー的構成モデルを提案する。応力緩和は、非線形的で非単調的な率 R(σ₁) と線形率 λσ₂ の2つの競合する経路を通じて発生する。特定のパラメータ領域、特に τ₂ > τ₁ かつ −λ < R′(σ) < 0 の場合、単調な定常状態の流れ曲線にもかかわらず、周期倍増ルートによるカオスが発現する。これは、複雑流体における rheochaos の一般的なメカニズムを示している。

ABSTRACT

We study a simple scalar constitutive equation for a shear-thickening material at zero Reynolds number, in which the shear stress \sigma is driven at a constant shear rate \dot\gamma and relaxes by two parallel decay processes: a nonlinear decay at a nonmonotonic rate R(\sigma_1) and a linear decay at rate \lambda\sigma_2. Here \sigma_{1,2}(t) = au_{1,2}^{-1}\int_0^t\sigma(t')\exp[-(t-t')/ au_{1,2}] { m d}t' are two retarded stresses. For suitable parameters, the steady state flow curve is monotonic but unstable; this arises when au_2> au_1 and 0>R'(\sigma)>-\lambda so that monotonicity is restored only through the strongly retarded term (which might model a slow evolution of material structure under stress). Within the unstable region we find a period-doubling sequence leading to chaos. Instability, but not chaos, persists even for the case au_1 o 0. A similar generic mechanism might also arise in shear thinning systems and in some banded flows.

研究の動機と目的

• ゼロレイノルズ数条件下におけるせん断強化流体の最小モデルにおいて、カオス的ダイナミクスがどのように出現するかを調査すること。
• 非線形および線形の応力緩和メカニズムの競合が、単調な定常状態の流れ曲線にもかかわらず不安定性およびカオスを引き起こす仕組みを分析すること。
• 特に遅れ応力成分間の時間スケールの分離が関与するパラメータ領域において、周期倍増を介してカオスが発生する条件を同定すること。
• 非線形緩和時間 τ₁ → 0 の極限を検討することで、このメカニズムの頑健性を調査すること。
• 同様のメカニズムが、せん断希釈系やバンド状流れにおいてもカオスを生じさせうることを示唆すること。

提案手法

• 一定のせん断速度 ɣ̇ によって駆動される、2つの遅れ応力成分 σ₁ および σ₂ を含むスカラー的構成方程式を定式化する。σ₁ および σ₂ は指数平均カーネルによって定義される。
• 非線形減衰率 R(σ₁) は非単調的であり、応力履歴に敏感なフィードバック機構を導入する。一方、σ₂ は率 λ で線形に減衰する。
• 時間定数 τ₁ = a u₁⁻¹ および τ₂ = a u₂⁻¹ がそれぞれ σ₁ および σ₂ の記憶深さを支配する。τ₂ > τ₁ により、安定化項の強い遅れが可能になる。
• 定常状態の流れ曲線が単調のままでも、R(σ₁) と λσ₂ の相互作用によって不安定化するパrameter空間でモデルを分析する。
• 分岐解析を用いて、定常流れから周期的振動、そして最終的には周期倍増シーケンスによるカオスへの遷移を追跡する。
• 数値的および解析的にシステムの挙動を検討し、R′(σ) および比 τ₂/τ₁ が不安定性およびカオスの発生に果たす役割に注目する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 せん断強化流体の単調な定常状態の流れ曲線が、その単調性にもかかわらず、どのような条件下で不安定化するのか？
• RQ2 競合する非線形および線形の応力緩和経路が、最小スカラー的モデルにおいてどのようにカオス的ダイナミクスを生じさせるのか？
• RQ3 2つの遅れ応力成分間の時間スケールの分離が、周期倍増およびカオスの発生に果たす役割は何か？
• RQ4 非線形緩和時間 τ₁ がゼロに近づく極限でもカオスが持続するか？これはメカニズムの頑健性を示唆する。
• RQ5 このメカニズムは、せん断希釈系やバンド状流れなどの他の複雑流体のクラスに一般化可能か？

主な発見

• 非単調な緩和率 R(σ₁) が −λ < R′(σ) < 0 を満たし、時間定数 τ₂ > τ₁ である場合、モデルにおいてカオスが周期倍増シーケンスを経て出現する。
• 定常状態の流れ曲線は単調のままだが、強く遅れがかかる項 σ₂ が遅れて安定化をもたらすパラメータ領域では不安定化が発生する。
• τ₁ → 0 の極限でも不安定性が生じるため、カオス的メカニズムは高速な非線形フィードバックに依存するのではなく、緩和プロセスの相対的タイミングに依存していることが示唆される。
• 非単調な R(σ₁) の存在が、不安定化およびその後のカオスの発生に不可欠であり、非線形フィードバックループを導入する。
• 本モデルは、同様の競合する緩和ダイナミクスを示す他の複雑流体系、特にせん断希釈系やバンド状流れにおいても、rheochaos の一般的なメカニズムを示唆している。