[論文レビュー] Ribbon Complexes & their Approximate Descriptive Proximities. Ribbon & Vortex Nerves, Betti Numbers and Planar Divisions

James F. Peters|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、アレクサンドロフ＝ホプフ＝ホイートヘッドCW位相的空間におけるリボン複体、リボン神経、バーテックス神経を導入し、平面リボンおよびその交差の位相的特徴を定量化するための新しいベッチ数—Brb、Brbx、BrbNrv—を定義する。リボン神経とその和集合が同じホモトピー型を持つことが確立され、エーデルスブルナー＝ハーラー神経定理がリボン構造へ拡張される。また、リボンが平面を3つの有界領域に分割し、その境界上にブロウワーの不動点が存在することを証明する。

ABSTRACT

This article introduces planar ribbons, Vergili ribbon complexes and ribbon nerves in Alexandroff-Hopf-Whitehead CW (Closure finite Weak) topological spaces. A {\em planar ribbon} (briefly, {ribbon}) in a CW space is the closure of a pair of nesting, non-concentric filled cycles that includes the boundary but does not include the interior of the inner cycle. Each planar ribbon has its own distinctive shape determined by its outer and inner boundaries and the interior within its boundaries. A Vergili ribbon complex (briefly, ribbon complex) in a CW space is a non-void collection of countable planar ribbons. A ribbon nerve is a nonvoid collection of planar ribbons (members of a ribbon complex) that have nonempty intersection. A planar CW space is a non-void collection of cells (vertexes, edges and filled triangles) that may or may not be attached to other and which satisfy Alexandroff-Hopf-Whitehead containment and intersection conditions. In the context of CW spaces, planar ribbons, ribbon complexes and ribbon nerves are characterized by Betti numbers derived from standard Betti numbers $\mathcal{B}_0$ (cell count), $\mathcal{B}_1$ (cycle count) and $\mathcal{B}_2$ (hole count), namely, $\mathcal{B}_{rb}$ and $\mathcal{B}_{rbNrv}$ introduced in this paper. Results are given for collections of ribbons and ribbon nerves in planar CW spaces equipped with an approximate descriptive proximity, division of the plane into three bounded regions by a ribbon and Brouwer fixed points on ribbons. In addition, the homotopy types of ribbons and ribbon nerves are introduced.

研究の動機と目的

• CW空間における平面リボンを、内側の内部を除いたネストされた非同心の塗潰し円周の間の領域として、形式的に定義し、その特徴を付与する。
• 非空の可算平面リボンの集合としてリボン複体を定義し、リボン神経をリボンの部分集合の交差として定義する。
• フィラメント、穴、重複するリボンの特徴を定量化するための新しいベッチ数—Brb、Brbx、BrbNrv—を導入する。
• リボン神経とその和集合がホモトピー同値であることを確立し、エーデルスブルナー＝ハーラー神経定理をリボン構造へ一般化する。
• リボンによる平面の位相的分割を分析し、リボン境界上にブロウワーの不動点が存在することを証明する。

提案手法

• 平面リボンを、非同心のネストされた塗潰し円周の間の領域の閉包として定義し、内側の円周の内部を除く。
• CW空間におけるバーギリリボン複体を、閉包有限な弱位相を満たす非空のこのようなリボンの集合として導入する。
• リボン神経を複数のリボンの非空な交差として定義し、ネストされたリボン構造としてバーテックス神経の概念を導入する。
• 3つの新しいベッチ数を提案する：Brb（個々のリボン用）、Brbx（リボン複体用）、BrbNrv（リボン神経用）、それぞれベッチ数B0、B1、B2に基づく。
• エーデルスブルナー＝ハーラー定理を適用し、閉かつ凸なリボン複体の集合の神経が、その和集合と同じホモトピー型を持つことを証明する。
• 近似的な記述的近接性を用いて、リボン間の空間的関係とその位相的不変量を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面リボンはどのようにCW位相的空間で形式的に定義され、特徴づけられるか？
• RQ2 リボン、リボン複体、リボン神経に関連する位相的不変量（例：ベッチ数）は何か？
• RQ3 リボン構造は平面をどのように分割するのか？ その境界に適用可能な不動点定理は何か？
• RQ4 リボン神経のホモトピー型は何か？ その構成リボンの和集合とはどのように関係するか？
• RQ5 神経定理は、ユークリッド空間におけるリボン複体および神経へ拡張可能か？

主な発見

• 平面リボンは平面を3つの互いに素な有界領域に分割し、すべてのリボンはその境界上に少なくとも1つのブロウワーの不動点を含む。
• リボンのベッチ数Brb(rbE)は、1本のフィラメント、2つのサイクル、3つの穴を持つリボンについて、B0(rbE) + B1(rbE) + B2(rbE) = 1 + 2 + 3 = 6 として定義される。
• リボン複体のベッチ数Brbx(rbxK)は、複体に含まれるすべてのリボンのBrb(rbE)の和に等しく、5つのリボンからなる複体ではBrbx = 5 である。
• リボン神経のベッチ数BrbNrv(rbNrvE)は、B0 + B1 + B2 = 0 + 3 + 3 = 6 として計算され、3つの重複するリボンと6つの穴を持つ神経についての値である。
• 閉かつ凸なリボン複体の集合の神経は、その和集合と同じホモトピー型を持つ。これはエーデルスブルナー＝ハーラー定理の一般化である。
• バーテックス神経について、ベッチ数Brb-vNrv(vNrvE)は神経に含まれるすべてのリボンのBrb(rbA)の和であり、BrbNrv-vNrv(vNrvE)は神経のすべての成分のBrbNrv(rbNrvA)の和である。