[論文レビュー] Riccati equations and optimal control of well-posed linear systems

Kalle Mikkola|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2016

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、適切に定義された線形系におけるリッカチ方程式と最適制御の関係を確立し、代数的リッカチ方程式の解が安定化フィードバック則をもたらすことを示している。線形二次調節器（LQR）フィードバックのもとで閉ループ系が指数安定であることを証明しており、制御作用素は適切であり、状態軌道は適切な関数空間内にある。

ABSTRACT

We generalize the classical theory on algebraic Riccati equations and optimization to infinite-dimensional well-posed linear systems, thus completing the work of George Weiss, Olof Staffans and others. We show that the optimal control is given by the stabilizing solution of an integral Riccati equation. If the input operator is not maximally unbounded, then this integral Riccati equation is equivalent to the algebraic Riccati equation. Using the integral Riccati equation, we show that for (nonsingular) minimization problems the optimal state-feedback loop is always well-posed. In particular, the optimal state-feedback operator is admissible also for the original semigroup, not only for the closed-loop semigroup (as has been known in some cases); moreover, both settings are well-posed with respect to an external input. This leads to the positive solution of several central, previously open questions on exponential, output and dynamic (aka. "internal") stabilization and on coprime factorization of transfer functions. Our theory covers all quadratic (possibly indefinite) cost functions, but the optimal state feedback need not be well-posed (admissible) unless the cost function is uniformly positive or the system is sufficiently regular.

研究の動機と目的

• 適切に定義された線形系における代数的リッカチ方程式の解と最適制御則の同等性を確立すること。
• リッカチ方程式から導かれるフィードバック制御則が、システムの強安定化を保証することを証明すること。
• LQRフィードバックの文脈における制御作用素の適切性および正則性を分析すること。
• 状態軌道空間を特徴づけ、初期条件が任意のものであっても閉ループ系が必要な関数空間内に留まることを検証すること。

提案手法

• 生成子 A と制御作用素 B を持つ適切に定義された線形系の枠組みを用いる。
• リッカチ方程式の解の存在を保証するため、焦点制御条件（Focal Control Condition: FCC）の概念を適用する。
• フィードバック制御則は u = -M^*Kx として導出され、ここで K は代数的リッカチ方程式を満たす。
• 閉ループ作用素が強連続半群を生成することを示すことによって安定性を確立する。
• フィードバック則が初期状態を適切な制御空間 L^2(R+; U) に写像することを示すことで証明に依拠する。
• システムは SOS-安定化可能であることが示され、すなわち状態軌道は有界であり、L^2 の意味で時間とともにゼロに収束する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的リッカチ方程式の解が安定化フィードバック制御則をもたらす条件は何か？
• RQ2 焦点制御条件（FCC）は、リッカチ方程式の解の存在および正則性をどのように保証するか？
• RQ3 リッカチ方程式の解と制御作用素の適切性の関係は何か？
• RQ4 LQRフィードバックのもとで閉ループ系が指数安定であることを示せるか？
• RQ5 フィードバック則のもとで状態軌道はどの関数空間に属するか？

主な発見

• リッカチ方程式から導かれるフィードバック制御則により、閉ループ系が強安定化されることを保証する。
• 制御作用素 M は適切である。これは、すべての初期状態に対して制御入力が L^2(R+; U) 内に留まることを意味する。
• 状態軌道 x(t) は、リッカチ方程式の解に関連する作用素のグラフ空間 X 内に留まる。
• システムは SOS-安定化可能であることが示され、すなわち状態は時間とともに L^2 の意味でゼロに収束する。
• U∗ = Uout または U∗ = Uexp のとき、制御作用素のための必要な正則性条件が満たされる。
• リッカチ方程式の解 K により、すべての x₀ ∈ H およびすべての u₀ ∈ L^2(R+; U) に対して Kx₀ + Mu₀ ∈ U∗(x₀) が成り立つ。