[論文レビュー] Ricci curvature for metric-measure spaces via optimal transport

John Lott, Cédric Villani|ArXiv.org|Dec 7, 2004

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 1被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、最適輸送とワッサーシュタイン空間における移動凸性を用いて、測度付き距離空間に対するリッチ曲率の新しい概念を導入する。非負の $N$-リッチ曲率が測度付きグロモフ＝ハウスドルフ極限において保存されることを確立し、幾何学的・解析的帰結を導出する。特に特異的かつ非滑らかである場合のリッチ曲率の下界の合成的特徴付けが得られる。

ABSTRACT

We define a notion of a measured length space X having nonnegative N-Ricci curvature, for N finite, or having infinity-Ricci curvature bounded below by K, for K a real number. The definitions are in terms of the displacement convexity of certain functions on the associated Wasserstein space P_2(X) of probability measures. We show that these properties are preserved under measured Gromov-Hausdorff limits. We give geometric and analytic consequences.

研究の動機と目的

• 滑らかなリーマン多様体におけるリッチ曲率の概念を一般の測度付き距離空間へ拡張すること。
• ワッサーシュタイン空間における最適輸送と移動凸性を用いて、下からのリッチ曲率の合成的定義を定義すること。
• 得られる空間のクラスが測度付きグロモフ＝ハウスドルフ極限に関して閉じていることを保証し、コンパクト性と極限解析を可能にすること。
• 滑らかである場合に古典的なリッチ曲率の概念を回復させ、非自明な幾何学的・解析的帰結を導出すること。
• 特異空間（たとえば接錐やリッチ曲率の下界を持つ多様体のグロモフ＝ハウスドルフ極限）におけるリッチ曲率の研究のための枠組みを提供すること。

提案手法

• 距離空間 $(X,d)$ 上のボレル確率測度の空間 $P_2(X)$ を定義し、$d(x_0,x_1)^2$ の最適輸送コストから導かれる $W_2$ 距離を備える。
• 特にエントロピー関数とべき関数の $P_2(X)$ 上での移動凸性を用いて、リッチ曲率の下界を定義する。
• $P_2(X)$ 上でのエントロピー関数の $\frac{1}{N}$-移動凸性を用いて、$N$-リッチ曲率が下から $K$ で有界であるという概念を導入し、滑らかな場合を一般化する。
• 弱-*収束と移動凸性の安定性を用いて、非負の $N$-リッチ曲率が測度付きグロモフ＝ハウスドルフ極限において保存されることを示す。
• 滑らかな多様体における $P_2(M)$ の形式的リーマン構造を用い、オットーとヴィラニの形式的計算に従って移動凸性とリッチ曲率を結びつける。
• マクキャーン、コルデロ＝エラウスキン、フォン・レネッセらの多様体上での最適輸送の結果を活用し、定義を測度付き距離空間へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度付き距離空間に対して、古典的なリーマン的リッチ曲率を一般化する下界付きの合成的リッチ曲率の定義は可能か？
• RQ2 リッチ曲率が下から有界な測度付き距離空間のクラスは、測度付きグロモフ＝ハウスドルフ極限に関して閉じているか？
• RQ3 ワッサーシュタイン空間における移動凸性は、滑らかな場合のリッチ曲率とどのように関係するか？
• RQ4 直径の上限や集中不等式のような幾何的・解析的帰結は、新しい定義から導出可能か？
• RQ5 接錐のような非滑らか空間へ定義を拡張可能か？また、それらの空間に対してもリッチ正則性が成立するか？

主な発見

• 非負の $N$-リッチ曲率をもつ測度付き距離空間のクラスは、測度付きグロモフ＝ハウスドルフ極限に関して閉じており、収束において安定していることが保証される。
• 非負の $N$-リッチ曲率をもつ空間の接錐は、非負の $N$-リッチ曲率を引き継ぐ。これはチーラー＝コールディングの結果を一般化する。
• 滑らかなリーマン多様体の場合に、定義は古典的なリッチ曲率の下界を回復する。これにより、定義の一貫性が裏付けられる。
• $P_2(X)$ 上でのエントロピー関数の移動凸性が、下からのリッチ曲率の下界を特徴付ける。マクキャーンの結果およびオットー＝ヴィラニの結果を測度付き距離空間へ拡張する。
• この枠組みにより、タラガランド型やログソボレフ型不等式を介して、直径の上限や集中不等式のような幾何的帰結を導出可能である。
• 測度の押し出しの弱-*極限において理論が安定しており、極限構成における頑健性が保証される。