[論文レビュー] Ricci-flat deformations of asymptotically cylindrical Calabi--Yau manifolds

Alexei Kovalev|ArXiv.org|Dec 22, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、漸近的に円筒型のCalabi–Yau多様体へのKoisoのリッチ平坦ケーラー計量の変形理論の拡張を行い、局所的なリッチ平坦変形が摂動された複素構造のもとでもケーラー的であることを証明し、対数的コホモロジーを用いてモジュライ空間の次元を計算する。また、この設定においてホロノミーのSU(n)への還元が開条件であることが示される。

ABSTRACT

We study a class of asymptotically cylindrical Ricci-flat Kähler metrics arising on quasiprojective manifolds. Using the Calabi--Yau geometry and analysis and the Kodaira--Kuranishi--Spencer theory and building up on results of N.Koiso for the case of compact manifolds, we show that under rather general hypotheses any `small' asymptotically cylindrical Ricci-flat deformations of asymptotically cylindrical Ricci-flat Kähler metrics are again Kähler, possibly with respect to a perturbed complex structure. We also find the dimension of the moduli space for these small deformations. In the class of asymptotically cylindrical Ricci-flat metrics on $2n$-manifolds, the holonomy reduction to SU(n) is an open condition.

研究の動機と目的

• 非コンパactかつ漸近的に円筒型のCalabi–Yau多様体へのKoisoのリッチ平坦ケーラー計量の変形理論を一般化すること。
• このような計量の局所的リッチ平坦変形が、摂動された複素構造のもとでもケーラー的であることを確立すること。
• 対数的シーブ・コホモロジーを用いて、漸近的に円筒型のリッチ平坦変形のモジュライ空間の次元を計算すること。
• 漸近的に円筒型のリッチ平坦計量のモジュライ空間において、ホロノミーのSU(n)への還元が開条件であることを示すこと。

提案手法

• 非コンパクトかつ漸近的に円筒型の複素多様体に対して、対数的シーブ・コホモロジーを用いてKodaira–Spencer–Kuranishi理論を適応する。
• 漸近的に円筒型多様体におけるホッジ理論と楕円型理論を適用し、調和形式と変形の障害を分析する。
• 無限遠に除算子を加えることによる多様体のコンパクト化を用いて、幾何学を対数的微分形式に関連付ける。
• Weitzenböck公式を用いて、リッチ平坦ケーラー多様体上の有界な調和(2,0)-形式が平行であることを示す。
• 無限遠の除算子の正規束に関連するコホモロジーの長完全系列を分析し、変形空間の次元を計算する。
• Kodairaの消滅定理とSerre双対性を適用して、コンパクト化可能な変形の非障害性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 漸近的に円筒型のCalabi–Yau計量の局所的リッチ平坦変形は、摂動された複素構造のもとでも必然的にケーラー的であるか？
• RQ2 このような多様体の漸近的に円筒型のリッチ平坦変形のモジュライ空間の次元は何か？
• RQ3 漸近的に円筒型のリッチ平坦計量のモジュライ空間において、ホロノミーのSU(n)への還元は開条件か？
• RQ4 対数的コホモロジー群は、これらの非コンパクトなCalabi–Yau多様体の変形理論をどのように制御するか？
• RQ5 どのような条件下で、多様体のコンパクト化可能な変形は非障害的か？

主な発見

• 任意の局所的漸近的に円筒型のリッチ平坦変形は、おそらく摂動された複素構造のもとでケーラー的である。
• 漸近的に円筒型のリッチ平坦変形のモジュライ空間の次元は、$ 2\dim_{\mathbb{C}}H^{1}(T_{W}(\log D)) + b^{2}(W) + b^{2}_{c}(W) - b^{2}_{0}(W) - 1 $ に等しく、具体例での計算が行われている。
• 有理曲線除算子を持つ単連結なCalabi–Yau表面の場合、モジュライ空間の次元は29であり、$ \dim_{\mathbb{C}}H^{1}(T_{S}(\log\tilde{C})) = 10 $ と非障害的変形に起因する。
• Fano三様体を滑らかな曲線に沿って吹き増しした場合、モジュライ空間の次元は $ b^{3}(V) + 2g(V) - \rho(V) + 40 $ に等しく、ここで $ g(V) = -K_{V}^{3}/2 + 1 $ である。
• 特定のリッチ平坦ケーラー三様体上で有界な調和(2,0)-形式が存在しないことは、平行な正則2形式が存在しないことを示しており、ホロノミーが $ SU(3) $ であることに整合する。
• コンパクト化可能な変形は $ H^{2}(T_{\overline{W}}) = 0 $ かつ $ H^{1}(N_{D/\overline{W}}) = 0 $ のとき非障害的であり、Kodairaの消滅定理とSerre双対性により検証される。