[論文レビュー] Ricci flat Kahler metrics with edge singularities

Simon Brendle|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用数 24

ひとこと要約

本稿は連続性法と重み付きソボレフ評価を用いて、コンpact Kähler多様体内の滑らかな複素超曲面に沿ったエッジ特異性を持つリッチ平坦ケーラー計量の構成を行う。主な結果は、$ c_1(M) = (1 - \beta)c_1(\Lambda) $ の条件下で、有界な曲率と背景計量に対して一様同値性を満たす計量の存在を示している。

ABSTRACT

We construct Ricci flat Kahler metrics with cone singularities along a complex hypersurface. This construction is inspired in part by R. Mazzeo's program in the case of negative Einstein constant, and uses the linear theory developed recently by S. Donaldson.

研究の動機と目的

• コンパクト Kähler 多様体内の滑らかな複素超曲面に沿ったエッジ特異性を持つリッチ平坦ケーラー計量の存在を確立すること。
• ドナルドソンの線形理論を用いて、錐型の振る舞いを示す特異背景計量へ連続性法を拡張すること。
• 重み付き Hölder 空間における $ C^0 $、ラプラシアン、および3階微分の推移的評価を、複素 Monge-Ampère 方程式に関して証明すること。
• 得られた計量が有界な曲率を持ち、背景計量に対して一様同値であることの証明。
• コhomオロジー的条件 $ c_1(M) = (1 - \beta)c_1(\Lambda) $ の下での存在問題を解明し、Tian-Yau 型の構成を一般化すること。

提案手法

• 滑らかな正則切断 $ s $ とバンドル計量 $ h $ から構成される、エッジ特異性を有する背景計量 $ \omega = \omega_0 + \lambda \sqrt{-1} \partial\bar{\partial}(|s|_h^{2\beta}) $ を用いる。
• 複素 Monge-Ampère 方程式 $ (\omega + \sqrt{-1} \partial\bar{\partial}u)^n = e^{tF - c} \omega^n $ に連続性法を適用し、$ t = 0 $ から $ t = 1 $ まで滑らかに変化させる。
• ドナルドソンの重み付き Hölder 空間 $ \mathcal{C}^{2,\alpha,\beta} $ におけるシュアダー評価を用いて、特異集合 $ \Sigma $ 近傍での正則性を制御する。
• ジェフリークレズの最大原理のテクニックを応用し、特異背景計量に対しても、ヨウのラプラシアンおよび曲率評価を適応する。
• 局所座標における分布的解析とモデル計量との比較を通じて、$ u $ の3階共変微分の漸近的挙動を導出する。この際、付録 A の重要な補助評価に依存する。
• 局所座標における比較と分布的解析を通じて、$ C^0 $、ラプラシアン、および $ C^2 $-型の評価を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リッチ平坦ケーラー計量が $ M \setminus \Sigma $ 上にエッジ特異性を持つためのコhomオロジー的条件は何か？
• RQ2 角度 $ 2\pi(1 - \beta) $ の錐特異性を有する特異背景計量に対して、連続性法を拡張することは可能か？
• RQ3 解 $ u $ 及びその微分の $ \Sigma $ 近傍における正確な漸近的挙動は何か？
• RQ4 エッジ特異計量下での曲率評価はどのように振る舞い、有界性を確立できるか？
• RQ5 特異性が存在する状況下でも最大原理を適用し、一様評価を導出できるか？

主な発見

• 条件 $ c_1(M) = (1 - \beta)c_1(\Lambda) $ および $ \beta \in (0, \frac{1}{2}) $ の下で、$ M \setminus \Sigma $ 上にリッチ平坦ケーラー計量 $ \hat{\omega} = \omega + \sqrt{-1} \partial\bar{\partial}u $ が存在することが確立された。
• 解 $ u \in \mathcal{C}^{2,\alpha,\beta} $ は一様 $ C^0 $-評価を満たす：$ \sup_M u - \inf_M u \leq C $。
• 計量 $ \hat{\omega} $ は背景計量 $ \omega $ に対して一様同値である。すなわち、一様な定数 $ a_1, a_2 > 0 $ に対して $ a_1 \omega \leq \hat{\omega} \leq a_2 \omega $ が成り立つ。
• 計量 $ \hat{\omega} $ の曲率テンソルは有界である：$ |\hat{R}|_{\hat{g}} = O(1) $、点ごとの減衰 $ |DR|_g \leq C \, |\zeta|^{\varepsilon - \beta} $ を満たす、ある $ \varepsilon > 0 $ に対して。
• $ u $ の3階共変微分は $ \Sigma $ 近傍で $ |\partial\bar{\partial}u|_{\nabla} = O(|\zeta|^{\alpha\beta}) $ を満たし、重み付き Hölder 範囲での正則性が保証される。
• 方程式 $ (\omega + \sqrt{-1} \partial\bar{\partial}u)^n = e^{F - c} \omega^n $ は $ \mathcal{C}^{2,\alpha,\beta} $ 内に解を有し、連続性法が完了した。