[論文レビュー] Ricci flow of non-collapsed 3-manifolds whose Ricci curvature is bounded from below

Miles Simon|ArXiv.org|Mar 12, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、非有界な曲率下限と、無限遠における制御された幾何的性質を満たす、完全で非崩壊な3次元多様体上における短時間リッチフローの存在を確立する。また、このような多様体のグロモフ＝ハウスドルフ極限は、必然的に滑らかな3次元多様体であることを証明し、アンダーソン＝チーリー＝コリング＝ティアンの次元3における予想を裏付ける。

ABSTRACT

We consider complete (possibly non-compact) three dimensional Riemannian manifolds (M,g) such that: a) (M,g) is non-collapsed, b) the Ricci curvature of (M,g) is bounded from below, c) the geometry of (M,g) at infinity is not too extreme. Given such initial data (M,g) we show that a Ricci flow exists for a short time interval. This enables us to construct a Ricci flow of any (possibly singular) metric space (X,d) which arises as a Gromov-Hausdorff limit of a sequence of 3-manifolds which satisfy a), b) and c) uniformly. As a corollary we show that such an X must be a manifold.

研究の動機と目的

• 完全で非崩壊な3次元多様体に、リッチ曲率が下から有界である場合の短時間リッチフローの存在を確立すること。
• このような3次元多様体の列のグロモフ＝ハウスドルフ極限として得られる極限計量空間へのリッチフローの拡張を試みること。
• このような極限空間が滑らかな多様体であることを証明し、アンダーソン、チーリー、コリング、ティアンの次元3における予想を確認すること。
• 曲率の有界性または距離関数の凹性による無限遠における幾何的制御を用いて、フローの存在と正則性を保証するための条件を設定すること。

提案手法

• リッチ曲率が下から有界な完全で非崩壊な3次元多様体に対する短時間リッチフロー存在定理の適用。
• ヘッセ比較原理を用いて、曲率の有界性のもとでの距離関数のヘッセの推定を行う。
• 体積、リッチ曲率、および無限遠における曲率または距離関数の挙動に一様な有界性を持つ列のグロモフ＝ハウスドルフ収束を用いて、極限計量空間上でのリッチフローの構成。
• リーマン曲率およびリッチ曲率の有界性を活用し、エネルギー推定とヤコビ場解析を用いて、リッチフロー下での計量歪みを制御する。
• 無限遠における曲率の成長を制御するための修正された指数関数の使用により、フローが良好に保たれることを保証する。
• リッチ曲率の下限と曲率の減衰条件から導かれる微分不等式を用いて、リッチフロー下での距離関数の推定を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全で非崩壊な3次元多様体に、リッチ曲率が下から有界である場合、短時間リッチフローは存在するか？
• RQ2 このような3次元多様体の列のグロモフ＝ハウスドルフ極限空間へのリッチフローの拡張は可能か？
• RQ3 単位球の体積が一様に有界で、リッチ曲率が下から一様に有界な3次元多様体のグロモフ＝ハウスドルフ極限は、必ず滑らかな多様体であるか？
• RQ4 無限遠におけるどのような幾何的条件が、有界なリッチ曲率を持つ非コンパクト3次元多様体上でのリッチフローの存在を保証するか？

主な発見

• リッチ曲率が下から有界で、単位球の体積が一様に下から有界な、任意の完全で非崩壊な3次元多様体上に短時間リッチフローが存在する。
• フローは時間区間 [0,T) で定義され、T は体積とリッチ曲率の下限にのみ依存する。T = T(v,k) > 0 である。
• 非崩壊性およびリッチ曲率の下限を満たす3次元多様体の列のグロモフ＝ハウスドルフ極限は、必然的に滑らかな多様体である。
• アンダーソン、チーリー、コリング、ティアンによる、このような極限空間の正則性に関する予想は、次元3において確認された。
• フローの存在は、無限遠における二つの代替的幾何的条件のもとで確立された：曲率の有界性、または距離関数の修正された指数関数による制御された曲率の減衰。
• リッチ曲率の有界性のもとでヤコビ場の比較を用いて、距離関数のヘッセの推定が得られ、フロー構成における一様な制御が可能になった。