[論文レビュー] Ricci flow on singular manifolds

Boris Vertman|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、有界リッチ曲率をもつ不完全なリーマン多様体に沿ったエッジ特異点をもつリッチ曲線の局所的および長期的存在を確立し、有界なリーマン曲率テンソルおよび計量族の正則性を証明している。解析はリッチ・リヒネロービッツラプラシアンおよびリッチ・ドゥルック曲線に依拠し、計量がリッチ平坦なエッジ計量に近い場合、孤立した円錐特異点をもつ空間に対しても結果を拡張している。

ABSTRACT

In this paper we prove local existence of a Ricci flow starting at an incomplete manifold with edge singularities and bounded Ricci curvature, flowing for a short time within a class of incomplete edge manifolds. We derive regularity properties for the corresponding family of Riemannian metrics and establish boundedness of the Riemannian curvature tensor along the flow. For Riemannian metrics that are sufficiently close to a Ricci flat incomplete edge metric, we prove long time existence of the Ricci flow. Our results in particular include the case of spaces with isolated conical singularities. The proof works by a careful analysis of the Lichnerowicz Laplacian and the Ricci de Turck flow equation.

研究の動機と目的

• 不完全な多様体にエッジ特異点をもち、有界リッチ曲率をもつリッチ曲線の存在を確立すること。
• 変化するリーマン計量の正則性を解析し、曲線に沿ってリーマン曲率テンソルの有界性を証明すること。
• 初期計量がリッチ平坦な不完全エッジ計量に十分近い場合に、長期間にわたるリッチ曲線の存在を拡張すること。
• 孤立した円錐特異点のケースをエッジ特異点の特別な場合として含めること。
• リッチ・ドゥルック方程式およびリヒネロービッツラプラシアンを用いて、特異空間上の幾何的曲線の厳密な枠組みを提供すること。

提案手法

• リッチ曲線方程式を、初期値問題が明確に定義された擬線形放物型系に変換するため、リッチ・ドゥルック曲線を用いる。
• 不完全エッジ多様体上のリヒネロービッツラプラシアンを解析し、線形化されたリッチ作用素を制御し、可解性を保証する。
• 特異構造を扱い、正則性を維持するために、線形化作用素に対する重み付きソボレフ推定を確立する。
• 重み付き Hölder 空間における最大正則性理論を適用し、短期間の存在および曲線の滑らかさを証明する。
• 初期計量がリッチ平坦エッジ計量に近い場合に、短期間を超えて曲線を拡張するための摂動論的議論を用いる。
• リッチ曲率の有界性と放物型正則性を用いて、曲線全体にわたるリーマン曲率テンソルの一様な上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界リッチ曲率をもち、エッジ特異点をもつ不完全なリーマン多様体において、リッチ曲線を開始できるか？
• RQ2 エッジ特異点が存在する状況下で、変化するリーマン計量がどのような正則性特性を有するか？
• RQ3 このような特異多様体上でのリッチ曲線に沿って、リーマン曲率テンソルは一様に有界か？
• RQ4 不完全エッジ多様体上でのリッチ曲線が長期間にわたって存在するための条件は何か？
• RQ5 円錐特異点はリッチ曲線の存在および正則性にどのように影響するか？また、エッジ特異点の特別な場合として取り扱えるか？

主な発見

• エッジ特異点をもち、有界リッチ曲率をもつ不完全多様体に対して、リッチ曲線の局所的存在が確立され、曲線は不完全エッジ多様体のクラス内で進化する。
• 曲線に沿ってリーマン曲率テンソルは一様に有界のままであり、幾何的進化が制御可能であることを保証する。
• 変化するリーマン計量は、下位のエッジ構造および初期曲率の有界性に一致する正則性特性を示す。
• 初期計量がリッチ平坦不完全エッジ計量に十分近い場合には、リッチ曲線はすべての時間にわたって存在する。
• 結果は、エッジ特異点の特別な場合として、孤立した円錐特異点のケースを含んでいる。
• リヒネロービッツラプラシアンおよびリッチ・ドゥルック方程式の解析が、すべての存在および正則性結果の核心的技術的基盤を提供している。