[論文レビュー] Ricci flows with bursts of unbounded curvature

Gregor Giesen, Peter M. Topping|Warwick Research Archive Portal (University of Warwick)|Feb 22, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、単位円板（双曲幾何と等角な）という、完全で有界曲率の初期計量をもつ曲面上のリッチフローが、t→∞ で双曲幾何に収束するにもかかわらず、中間段階で無限大の曲率を発生させることを示している。一時的完全リッチフローの一意性を用いて、このような曲率の爆発は避けがたいことを証明している。一方で、双曲計量への代替的で曲率が有界な変形ルートは存在する。

ABSTRACT

Given a completely arbitrary surface, whether or not it has bounded curvature, or even whether or not it is complete, there exists an instantaneously complete Ricci flow evolution of that surface that exists for a specific amount of time [GT11]. In the case that the underlying Riemann surface supports a hyperbolic metric, this Ricci flow always exists for all time and converges (after scaling by a factor $\frac1{2t}$) to this hyperbolic metric [GT11], i.e. our Ricci flow geometrises the surface. In this paper we show that there exist complete, bounded curvature initial metrics, including those conformal to a hyperbolic metric, which have subsequent Ricci flows developing unbounded curvature at certain intermediate times. In particular, when coupled with the uniqueness from [Top13], we find that any complete Ricci flow starting with such initial metrics must develop unbounded curvature over some intermediate time interval, but that nevertheless, the curvature must later become bounded and the flow must achieve geometrisation as $t o\infty$, even though there are other conformal deformations to hyperbolic metrics that do not involve unbounded curvature. Another consequence of our constructions is that while our Ricci flow from [GT11] must agree initially with the classical flow of Hamilton and Shi in the special case that the initial surface is complete and of bounded curvature, by uniqueness, it is now clear that our flow lasts for a longer time interval in general, with Shi's flow stopping when the curvature blows up, but our flow continuing strictly beyond in these situations. All our constructions of unbounded curvature developing and then disappearing are in two dimensions. Generalisations to higher dimensions are then immediate.

研究の動機と目的

• 非コンパクトな曲面上の完全で有界曲率の初期計量から出発するリッチフローが、進化中に中間段階で無限大の曲率を発生させるかどうかを調査すること。
• 代替的で曲率が有界な双曲計量への道筋が存在するにもかかわらず、幾何化が実現するためには、このような曲率の爆発が不可避であるかどうかを特定すること。
• [GT11] の一時的完全リッチフローが、古典的フロー（例えば Hamilton–Shi）の爆発時刻を過ぎても存続することを、一意性と拡張された存在性から確立すること。
• ラムネ型の曲面を用いた幾何的手術とバリア法を用いて、制御された無限大曲率の爆発を示す明示的例を構成すること。
• 中間段階の曲率特異性にもかかわらず、スケーリングによって双曲計量に収束するという、長期間の振る舞いが幾何化を達成することを示すこと。

提案手法

• リーマン面の単位円板上に初期計量を構成し、双曲的くちばち型領域と細長いシリンダー（ラムネ型幾何）を貼り合わせる。パラメータを調整して、中間段階で曲率が爆発するようにする。
• [GT11] および [Top13] における一時的完全リッチフローの存在および一意性を用いて、構築された初期曲面における一意的かつ全域的定義されたフローを保証する。
• 曲率推定と擬局所型定理（例えば Chen [Che09] より）を適用して、時空領域における曲率の進化を制御し、爆発が実際にバルブ領域でのみ発生することを保証する。
• バリア法と先行研究における補題 5.3 および命題 6.1 の修正版を用いて、より長い時間区間における曲率推定を拡張する。
• 等周不等式（Bolの不等式）を活用して、曲率下界と面積や境界長といった幾何的量の関係を結ぶ。
• 複数のラムネ型領域を、パラメータを小さくして孤立した点に配置することにより、任意の非コンパクトリーマン面上でのより一般化された初期計量を構築し、長期的な幾何化を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクト曲面上の完全で有界曲率の初期計量が、リッチフローによって中間段階で無限大の曲率を発生させる可能性はあるか？
• RQ2 代替的で曲率が有界な双曲計量への道筋が存在するにもかかわらず、幾何化が実現するためには、このような曲率の爆発が不可避であるか？
• RQ3 曲率が爆発する場合、[GT11] の一時的完全リッチフローは、古典的 Hamilton–Shi フローと比較してどの程度長期間存続するか？
• RQ4 曲率の爆発を空間的・時間的に局所化し、制御しながらも、長期的に双曲幾何に収束することを保証できるか？
• RQ5 どのような幾何的構成（例：ラムネ型、切り詰められたシリンダー）が、非コンパクト曲面上のリッチフローにおける曲率進化を明示的に制御可能にするか？

主な発見

• 単位円板上に、有界曲率で出発する完全で等角的かつ永遠に存続するリッチフローが存在するが、ある t₁ ∈ [1,3) に対して、時間区間 (t₁, t₁ + 1/100) 内で無限大の曲率を発生させる。
• 中間段階の曲率爆発にもかかわらず、スケーリングされたフロー (1/(2t))g(t) は、すべての k ∈ ℕ に対して t → ∞ のとき Cᵏ(𝔻, H) で双曲計量 H に収束する。
• スケーリングされたフローの曲率は一様に -1 に収束し、長期間の極限において完全な幾何化が確認される。
• フローは [Top13] の意味での一意性を満たすため、同じ初期計量から出発する他のすべてのリッチフローは、最大存在時刻までこのフローと一致する。この時刻は、古典的 Hamilton–Shi フローのそれよりも厳密に長い。
• 曲率の爆発は避けがたい：代替的で曲率が有界な双曲計量への変形ルートが存在するにもかかわらず、リッチフローは依然としてこのような段階を経なければならない。
• 高次元多様体への一般化は直ちに可能であり、2次元での構成をワーパード積やその他の幾何的貼り合わせ技術を用いて拡張可能である。